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Herleitung von P = U · I aus der elektrischen Energie

Drei bekannte Quotienten ergeben zusammen eine der wichtigsten Formeln der Elektrizitätslehre.

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Von der Energie zur Leistung

AFB I–II

Bekannt sind drei Zusammenhänge: \( P = \tfrac{E}{t} \), die Spannung als Energie je Ladung \( U = \tfrac{E}{Q} \) und die Stromstärke als Ladung je Zeit \( I = \tfrac{Q}{t} \).

  1. Nennen Sie zu \( U \) und \( I \) jeweils Formelzeichen, Einheit und die Bedeutung als Quotient.
  2. Leiten Sie aus diesen drei Gleichungen \( P = U \cdot I \) her.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ladung \( Q \) wird in Coulomb (C) gemessen, 1 C = 1 A · 1 s.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie \( E = U \cdot Q \) und \( Q = I \cdot t \) in \( P = \tfrac{E}{t} \) ein und kürzen Sie \( t \).Herleiten verlangt jeden Zwischenschritt, nicht nur das Ergebnis.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Spannung \( U \), Einheit Volt (V): Energie je transportierter Ladung, \( U = \tfrac{E}{Q} \), also 1 V = 1 J/C.

Stromstärke \( I \), Einheit Ampere (A): Ladung je Zeit, \( I = \tfrac{Q}{t} \), also 1 A = 1 C/s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus \( U = \tfrac{E}{Q} \) folgt \( E = U \cdot Q \); aus \( I = \tfrac{Q}{t} \) folgt \( Q = I \cdot t \).

\( P = \dfrac{E}{t} = \dfrac{U \cdot Q}{t} = \dfrac{U \cdot I \cdot t}{t} = U \cdot I \)

Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke.

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Prüfung an einer LED-Leuchte

AFB II–III

Eine LED-Leuchte wird an \( U = 12\ \mathrm{V} \) betrieben und nimmt \( I = 0{,}25\ \mathrm{A} \) auf. Sie brennt eine Minute lang. Ein Mitschüler behauptet: „Wenn man die Spannung an einem Bauteil verdoppelt, verdoppelt sich auch seine Leistung.“

  1. Erklären Sie anhand der Einheiten, warum \( 1\ \mathrm{V} \cdot 1\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{W} \) gilt.
  2. Bestätigen Sie \( P = U \cdot I \) für die LED-Leuchte, indem Sie zuerst über \( Q \) und \( E \) rechnen.
  3. Überprüfen Sie die Behauptung des Mitschülers für ein Bauteil mit konstantem Widerstand.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
1 V = 1 J/C und 1 A = 1 C/s. Multiplizieren Sie und kürzen Sie C.
Hinweis zu Aufgabe b)
Weg über \( Q = I \cdot t \), dann \( E = U \cdot Q \), dann \( P = \tfrac{E}{t} \). Zum Schluss mit \( P = U \cdot I \) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bei konstantem Widerstand gilt zusätzlich \( I = \tfrac{U}{R} \). Was passiert dann mit \( I \), wenn \( U \) verdoppelt wird?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( 1\ \mathrm{V} \cdot 1\ \mathrm{A} = 1\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \cdot 1\ \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}} = 1\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = 1\ \mathrm{W} \)

Die Ladungseinheit kürzt sich heraus; übrig bleibt Energie je Zeit, also Leistung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\( Q = I \cdot t = 0{,}25\ \mathrm{A} \cdot 60\ \mathrm{s} = 15\ \mathrm{C} \)

\( E = U \cdot Q = 12\ \mathrm{V} \cdot 15\ \mathrm{C} = 180\ \mathrm{J} \)

\( P = \dfrac{E}{t} = \dfrac{180\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}} = 3{,}0\ \mathrm{W} \)

Direkt: \( P = U \cdot I = 12\ \mathrm{V} \cdot 0{,}25\ \mathrm{A} = 3{,}0\ \mathrm{W} \). Beide Wege liefern 3,0 W, die Formel ist bestätigt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei konstantem \( R \) ist \( I = \tfrac{U}{R} \), also \( P = U \cdot I = \tfrac{U^2}{R} \).

Verdoppelt man \( U \), so verdoppelt sich auch \( I \); die Leistung wächst auf das Vierfache, nicht auf das Doppelte.

Die Behauptung ist falsch. Sie gälte nur, wenn die Stromstärke gleich bliebe.