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Sensorschaltungen: Dämmerungsschalter und Temperaturwächter

Zwei Schaltungen, eine gemeinsame Formel — und die Frage, welcher Widerstand jeweils wohin gehört und wie man das begründet. Mit ausführlichem Lösungsweg zum genauen Nachvollziehen.

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Dämmerungsschalter für die Hofbeleuchtung

AFB I–II

Ein Dämmerungsschalter besteht aus einem Festwiderstand \(R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}\) und einem LDR als \(R_2\), beide in Reihe an \(U_{\mathrm{ges}} = 9{,}0\ \mathrm{V}\). Die Ausgangsspannung wird am LDR abgegriffen. Der LDR hat im Tageslicht \(0{,}50\ \mathrm{k\Omega}\), im Dunkeln \(1{,}0\ \mathrm{M\Omega}\). Der nachgeschaltete Transistor schaltet die Lampe ein, sobald \(U_{\mathrm{aus}}\) über \(0{,}70\ \mathrm{V}\) liegt.

  1. Geben Sie an, wie sich der Widerstand des LDR beim Dunkelwerden ändert, und geben Sie die Formel für \(U_{\mathrm{aus}}\) an.
  2. Berechnen Sie \(U_{\mathrm{aus}}\) für beide Fälle und prüfen Sie, wann die Lampe brennt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Im Zähler steht immer der Widerstand, an dem abgegriffen wird — hier also der LDR.Angeben heißt: ohne Begründung notieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechnen Sie beide Widerstände in derselben Einheit, z. B. in kΩ: \(1{,}0\ \mathrm{M\Omega} = 1000\ \mathrm{k\Omega}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Beim Dunkelwerden fehlen dem LDR die Photonen; er wird hochohmig, sein Widerstand steigt von 0,50 kΩ auf 1,0 MΩ. Es gilt \(U_{\mathrm{aus}} = U_{\mathrm{ges}}\cdot\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\) mit \(R_2\) als LDR.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hell: \(U_{\mathrm{aus}} = 9{,}0\ \mathrm{V}\cdot\dfrac{0{,}50}{10+0{,}50} = 0{,}43\ \mathrm{V}\). Dunkel: \(U_{\mathrm{aus}} = 9{,}0\ \mathrm{V}\cdot\dfrac{1000}{10+1000} = 8{,}9\ \mathrm{V}\). Antwortsatz: Tagsüber bleibt die Ausgangsspannung mit 0,43 V unter der Schwelle von 0,70 V, die Lampe bleibt aus; nachts liegen 8,9 V an, der Transistor schaltet die Lampe ein.

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Temperaturwächter im Serverschrank

AFB II–III

Ein Lüfter soll anlaufen, wenn es im Schrank zu warm wird. Dazu liegen ein NTC (oben) und ein Festwiderstand \(R_2 = 10\ \mathrm{k\Omega}\) (unten) in Reihe an \(U_{\mathrm{ges}} = 12\ \mathrm{V}\); abgegriffen wird an \(R_2\). Der NTC hat bei \(25\ ^\circ\mathrm{C}\) \(10\ \mathrm{k\Omega}\), bei \(40\ ^\circ\mathrm{C}\) \(5{,}0\ \mathrm{k\Omega}\) und bei \(60\ ^\circ\mathrm{C}\) \(2{,}0\ \mathrm{k\Omega}\). Die Schaltstufe startet den Lüfter ab \(U_{\mathrm{aus}} = 8{,}0\ \mathrm{V}\).

  1. Erklären Sie, warum der NTC oben sitzen muss, damit der Lüfter bei Hitze anläuft.
  2. Ermitteln Sie, bei welchen der drei Temperaturen der Lüfter läuft, und den NTC-Widerstand genau an der Schaltschwelle.
  3. Entscheiden Sie begründet, ob \(R_2\) vergrößert oder verkleinert werden muss, damit der Lüfter schon bei niedrigerer Temperatur anläuft.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Überlegen Sie zuerst, was Wärme mit dem NTC-Widerstand macht — und dann, wie sich die Spannung auf die beiden Widerstände verteilt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Für den letzten Teil die Teilerformel nach dem NTC-Widerstand umstellen: Aus \(8{,}0\ \mathrm{V}\) folgt, welchen Anteil \(R_2\) an der Summe haben muss.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Welchen NTC-Widerstand verlangt die Schwelle, wenn \(R_2\) wächst? Und gehört ein größerer NTC-Widerstand zu einer höheren oder niedrigeren Temperatur? Legen Sie sich am Ende eindeutig fest.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wärme erzeugt im NTC freie Ladungsträger, sein Widerstand sinkt. Am kleineren Widerstand fällt die kleinere Teilspannung ab — steht der NTC oben, bleibt für den unteren Festwiderstand die größere Spannung übrig. Nur so wächst \(U_{\mathrm{aus}}\) mit der Temperatur. Säße der NTC unten, wäre es umgekehrt: Bei Hitze würde \(U_{\mathrm{aus}}\) sinken und der Lüfter gerade nicht anlaufen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(25\ ^\circ\mathrm{C}\): \(12\ \mathrm{V}\cdot\tfrac{10}{20} = 6{,}0\ \mathrm{V}\) — Lüfter aus. \(40\ ^\circ\mathrm{C}\): \(12\ \mathrm{V}\cdot\tfrac{10}{15} = 8{,}0\ \mathrm{V}\) — Schwelle erreicht, Lüfter läuft. \(60\ ^\circ\mathrm{C}\): \(12\ \mathrm{V}\cdot\tfrac{10}{12} = 10\ \mathrm{V}\) — Lüfter läuft. An der Schwelle gilt \(\tfrac{10}{R+10} = \tfrac{8{,}0}{12}\), also \(R + 10 = 15\) und \(R = 5{,}0\ \mathrm{k\Omega}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(R_2\) muss vergrößert werden. Begründung: An der Schwelle gilt allgemein \(R_{\mathrm{NTC}} = R_2\cdot\dfrac{U_{\mathrm{ges}}-U_{\mathrm{aus}}}{U_{\mathrm{aus}}} = 0{,}5\cdot R_2\). Ein größeres \(R_2\) lässt also schon einen größeren NTC-Widerstand zum Schalten genügen — und ein großer NTC-Widerstand bedeutet beim Heißleiter eine niedrigere Temperatur. Als vollständig gilt eine Antwort, die sich eindeutig für „vergrößern“ entscheidet und die Begründung über die Schwellenbedingung oder ein durchgerechnetes Gegenbeispiel führt. Praktisch setzt man dafür ein Potentiometer ein.