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Leiter, Halbleiter, Isolator — was sie unterscheidet

Zwei Aufgaben: mit dem spezifischen Widerstand ρ sauber rechnen und die geltende Temperaturregel schlüssig und ausführlich verteidigen. Mit ausführlichem Lösungsweg zum genauen Nachvollziehen.

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Die Kabeltrommel auf der Baustelle

AFB I–II

Auf einer Baustelle liegt eine Kabeltrommel mit 45 m Kupferader (spezifischer Widerstand \(\rho = 1{,}7\cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm{m}\), Querschnitt \(A = 1{,}5\ \mathrm{mm}^2 = 1{,}5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}^2\)). Die Ader steckt in einer Kunststoffhülle; im angeschlossenen Sensor arbeitet ein Stück Silizium mit \(\rho \approx 2\cdot 10^{3}\ \Omega\,\mathrm{m}\). Es gilt \(R = \rho\cdot \dfrac{l}{A}\).

  1. Nennen Sie die drei Materialklassen und ordnen Sie jeder ein im Text genanntes Material zu.
  2. Berechnen Sie den Widerstand der 45 m langen Kupferader.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Sortiere nach der Größenordnung von ρ, nicht nach dem Aussehen.„Nennen“ verlangt nur die Aufzählung — keine Begründung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze zuerst alle Werte in SI-Einheiten ein. Rechne getrennt: Vorzahlen multiplizieren, Zehnerpotenzen addieren bzw. subtrahieren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Leiter: Kupfer (Ader). Halbleiter: Silizium (Sensor). Isolator: Kunststoff (Hülle).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(R=\rho\cdot \frac{l}{A}\). Rechnung: \(R=\dfrac{1{,}7\cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm{m}\cdot 45\ \mathrm{m}}{1{,}5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}^2}=\dfrac{7{,}65\cdot 10^{-7}}{1{,}5\cdot 10^{-6}}\ \Omega\). Ergebnis: \(R=0{,}51\ \Omega\). Antwort: Die Kupferader hat einen Widerstand von rund 0,51 Ω.

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Drei Proben im Trockenschrank

AFB II–III

Drei gleich geformte Proben (Länge 1 cm, Querschnitt 1 cm²) werden im Trockenschrank von 20 °C auf 150 °C erwärmt. Bei 20 °C gilt: Kupfer \(\rho = 1{,}7\cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm{m}\), Silizium \(\rho = 2{,}0\cdot 10^{3}\ \Omega\,\mathrm{m}\), Glas \(\rho = 1{,}0\cdot 10^{10}\ \Omega\,\mathrm{m}\). Gemessen wird: Beim Kupfer steigt der Widerstand um etwa die Hälfte, beim Silizium fällt er auf etwa ein Hundertstel, beim Glas ändert sich nichts Messbares. Ein Mitschüler kommentiert: „Halbleiter heißen so, weil sie halb so gut leiten wie Metalle.“

  1. Beschreiben Sie für Kupfer und Silizium, wie sich der Widerstand beim Erwärmen ändert, und führen Sie den Unterschied auf die Herkunft der freien Ladungsträger zurück.
  2. Schätzen Sie ab, um wie viele Zehnerpotenzen sich ρ von Kupfer und Glas unterscheidet.
  3. Beurteilen Sie die Aussage des Mitschülers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Frage dich bei jedem Material: Sind die Ladungsträger schon da, oder muss die Wärme sie erst erzeugen?
Hinweis zu Aufgabe b)
Bilde den Quotienten der beiden ρ-Werte und schau nur auf die Exponenten — genaues Rechnen ist hier nicht nötig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe zwei Dinge getrennt: Stimmt der Zahlenfaktor „halb“? Und wofür steht die Vorsilbe tatsächlich? Belege beides mit den ρ-Werten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Kupfer: Der Widerstand steigt. Die freien Elektronen des Elektronengases sind bereits vorhanden; die stärker zitternden Atomrümpfe bremsen sie zusätzlich. Silizium: Der Widerstand sinkt stark. Hier erzeugt die Wärme die Ladungsträger überhaupt erst, indem sie Bindungen aufbricht. Der Zuwachs an Ladungsträgern überwiegt die Bremswirkung bei Weitem.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\dfrac{1{,}0\cdot 10^{10}}{1{,}7\cdot 10^{-8}} \approx 6\cdot 10^{17}\). Der Unterschied beträgt also rund 18 Zehnerpotenzen — Glas widersetzt sich dem Strom etwa eine Trillion Mal stärker als Kupfer.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist zurückzuweisen. ρ(Silizium) : ρ(Kupfer) ≈ \(10^{11}\) — Silizium leitet rund hundert Milliarden Mal schlechter, nicht halb so gut. „Halb“ bezeichnet die Lage zwischen Leiter und Isolator, nicht einen Faktor 2. Vollständig ist die Antwort, wenn das Urteil klar formuliert und mit einem Zahlenvergleich belegt wird.