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Modelle: Elektronen im Kristallgitter und das Bändermodell

Zwei Aufgaben: die Bindungen im Kristallgitter sorgfältig abzählen und die entstehenden Bandlücken richtig und sicher deuten. Mit ausführlichem Lösungsweg zum genauen Nachvollziehen.

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Drei Diagramme auf dem Arbeitsblatt

AFB I–II

Auf einem Arbeitsblatt stehen drei Bändermodell-Diagramme nebeneinander. Sie unterscheiden sich nur durch die Breite der Bandlücke: Diagramm A zeigt überlappende Bänder (keine Lücke), Diagramm B eine Lücke von \(1{,}1\ \mathrm{eV}\), Diagramm C eine Lücke von \(5{,}0\ \mathrm{eV}\). Zur Auswahl stehen die Materialien Kupfer, Silizium und Diamant.

  1. Geben Sie an, wie viele Außenelektronen ein Siliziumatom besitzt und wie viele Bindungen es damit eingeht.
  2. Ordnen Sie den Diagrammen A, B und C die drei Materialien zu.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Silizium steht in der vierten Hauptgruppe. Jedes Außenelektron wird in genau einer Bindung eingesetzt.„Angeben“ verlangt nur die Zahlen — ohne Erläuterung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Je breiter die Lücke, desto schlechter der Leiter. Nenne bei jeder Zuordnung das Kriterium, nach dem du entschieden hast.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vier Außenelektronen, vier Elektronenpaarbindungen — eine zu jedem der vier Nachbaratome.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

A → Kupfer: keine Lücke, die Elektronen sind ohne Zusatzenergie frei beweglich (Leiter). B → Silizium: schmale Lücke, die Wärmebewegung reicht bei Zimmertemperatur für einige wenige Elektronen (Halbleiter). C → Diamant: breite Lücke, kein Elektron schafft den Sprung (Isolator).

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Ein Modell, das absichtlich falsch zeichnet

AFB II–III

Ein Schüler zeichnet einen Siliziumkristall als ebenes Gitter: Die Atome sitzen in einem Quadratmuster, die Bindungswinkel betragen \(90^\circ\). Im echten Kristall bilden die vier Nachbarn dagegen einen Tetraeder mit rund \(109{,}5^\circ\). Sein Ausschnitt enthält 12 Atome; jedes davon ist mit vier Bindungen gezeichnet, und jede Bindung verbindet zwei dieser Atome. In einer Zeitschrift liest er außerdem von einem Kristall mit einer Bandlücke von \(2{,}4\ \mathrm{eV}\); zum Vergleich: Silizium \(1{,}1\ \mathrm{eV}\), Diamant \(5{,}0\ \mathrm{eV}\).

  1. Erklären Sie, warum das ebene Gittermodell trotz der falschen Bindungswinkel brauchbar ist.
  2. Ermitteln Sie die Zahl der Bindungen und die Zahl der Bindungselektronen im Ausschnitt.
  3. Entscheiden Sie, ob der Kristall mit \(2{,}4\ \mathrm{eV}\) eher als Halbleiter oder als Isolator einzustufen ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Frage dich, welche Aussage das Modell tragen soll — und ob der Winkel für diese Aussage überhaupt gebraucht wird.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zähle zuerst die Bindungsenden (vier pro Atom). Jede Bindung besitzt zwei Enden und enthält ein Elektronenpaar.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche mit beiden Randfällen: Wie viel Energie liefert die Wärmebewegung bei Zimmertemperatur, und wie viel Licht steckt in einem Lichtquant? Lege dich danach eindeutig fest.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Modell soll erklären, dass jedes Siliziumatom vier Bindungen besitzt und dadurch alle Außenelektronen gebunden sind. Dafür ist nur die Anzahl der Bindungen nötig, nicht ihre räumliche Lage. Ein Modell muss nicht alles korrekt wiedergeben, sondern nur das, was gerade erklärt werden soll — die ebene Zeichnung ist dazu außerdem überhaupt erst auf Papier möglich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Bindungsenden: \(12\cdot 4 = 48\). Jede Bindung hat zwei Enden: \(48 : 2 = 24\) Bindungen. Jede Bindung enthält ein Elektronenpaar: \(24\cdot 2 = 48\) Bindungselektronen. Antwort: 24 Bindungen mit insgesamt 48 Elektronen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Festlegung: Der Kristall ist noch den Halbleitern zuzurechnen, liegt aber am oberen Rand. Begründung: 2,4 eV sind mehr als doppelt so viel wie bei Silizium, also gelingt der Sprung durch Wärme bei Zimmertemperatur praktisch nicht — der Kristall wirkt wie ein Isolator. Sichtbares Licht liefert jedoch Energien in dieser Größenordnung, sodass sich der Sprung auslösen lässt; von den 5,0 eV des Diamanten ist der Wert weit entfernt. Als vollständig gilt eine eindeutige Festlegung mit Zahlenvergleich zu beiden Randfällen.