Bändermodell

Du weißt bereits, dass Kupfer leitet, Glas nicht und Silizium irgendwo dazwischen liegt. Jetzt suchen wir eine Darstellung, in der man diesen Unterschied auf einen Blick sieht.

• Drei Erklärungen bisher:Elektronengas im Metall, eingesperrte Elektronen im Isolator, lösbare Bindungen im Halbleiter.
• Das Problem:Drei Sätze nebeneinander — aber kein gemeinsamer Maßstab.
• Ziel:Ein Modell, das für alle drei Stoffe dasselbe sagt und den Unterschied an einer einzigen Zahl festmacht.
• Bändermodell:Kein neues Naturgesetz, sondern eine andere Art, dasselbe Gitter zu zeichnen — der Unterschied schrumpft auf eine Lücke.

Zwei Modelle desselben Kristalls: Das Gittermodell zeigt den Ort der Elektronen, das Bändermodell ihre Energie.

Silizium hat vier Außenelektronen

Vier Außenelektronen sind zu wenig zum Abgeben und zu viele zum Aufnehmen — also teilt das Siliziumatom.

• Vier Nachbarn:Jedes Siliziumatom sucht sich vier Nachbarn und teilt sich mit jedem ein Elektron.
• Elektronenpaarbindung:Zwei Elektronen gehören beiden Atomen gleichzeitig; jedes Atom „sieht“ acht Außenelektronen und ist damit stabil.
• Lückenloser Kristall:Das ganze Gitter ist durchverbunden wie ein Baugerüst ohne lose Enden.
• Folge:Bei tiefen Temperaturen ist kein Elektron frei — kaltes reines Silizium leitet gar nicht.

Das ebene Gittermodell — eine bewusste Vereinfachung

Das ebene Gittermodell vereinfacht die räumliche Anordnung bewusst.

• In Wirklichkeit:Die vier Nachbarn sitzen in den Ecken eines Tetraeders — größtmöglicher Abstand zwischen den Bindungen.
• Auf der Heftseite:Man klappt alles flach zu einem quadratischen Netz mit vier Bindungen nach oben, unten, links und rechts.
• Was stimmt:Die Anzahl der Bindungen — die Winkel dagegen nicht.
• Modellregel:Ein Modell muss nur das richtig wiedergeben, worum es gerade geht.

Dasselbe noch einmal — aber als Energie gezeichnet

Statt „Wo sitzt das Elektron?“ fragen wir nun: „Wie viel Energie hat es?“ Auf der senkrechten Energieachse gibt es erlaubte Bereiche — die Bänder — und verbotene dazwischen.

• Valenzband:Unterer erlaubter Bereich — hier stecken die gebundenen Elektronen, sie können keinen Strom bilden.
• Leitungsband:Oberer erlaubter Bereich — wer es hierher schafft, ist im ganzen Kristall frei beweglich und leitet.
• Bandlücke:Verbotener Bereich dazwischen; nur in einem Sprung mit genau passender Energie zu überwinden.
• Elektronenvolt (eV):Einheit für die Breite der Lücke — 1 eV nimmt ein Elektron beim Durchlaufen von 1 Volt auf.

Drei Materialklassen, eine einzige Zahl

Der Unterschied zwischen Kupfer, Silizium und Diamant steckt jetzt nur noch in der Breite der Bandlücke.

Drei Stoffe, die vorher drei getrennte Erzählungen brauchten, stehen jetzt im selben Diagramm — der Unterschied ist der Abstand zweier Rechtecke.

Hier stehen die drei Materialklassen im selben Diagramm nebeneinander — mit demselben Maßstab auf der Energieachse. Das gelbe Elektron versucht bei jeder Änderung, vom Valenzband ins Leitungsband zu springen. Beobachte, ab welcher Energie das gelingt und wo es aussichtslos bleibt.

Achte darauf, dass sich am Bild des Materials nichts ändert, wenn du die Energie hochdrehst — die Bänder bleiben, wo sie sind. Verändert wird nur, ob ein Elektron die Lücke überwinden kann. Und noch etwas: In echtem Silizium liefert die Wärmebewegung im Mittel viel weniger als 1,1 eV. Es sind einzelne Elektronen, die zufällig deutlich mehr abbekommen als der Durchschnitt — deshalb sind es bei Zimmertemperatur immer nur sehr wenige.

Drei Stellen, an denen das Bändermodell gern missverstanden wird.