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Eigenleitung — warum Halbleiter bei Wärme besser leiten

Zwei Aufgaben: eine NTC-Messreihe grafisch auswerten und die einzelnen Löcher im Kristallgitter richtig und vollständig auszählen. Mit ausführlichem Lösungsweg zum genauen Nachvollziehen.

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Der Heißleiter im Backofen

AFB I–II

Ein NTC-Widerstand dient als Temperaturfühler. Gemessen wird: 20 °C → \(12{,}0\ \mathrm{k\Omega}\); 40 °C → \(6{,}0\ \mathrm{k\Omega}\); 60 °C → \(3{,}0\ \mathrm{k\Omega}\); 80 °C → \(1{,}5\ \mathrm{k\Omega}\). Ein gleich langer Kupferdraht im selben Ofen hat bei 20 °C den Widerstand \(5{,}0\ \Omega\) und bei 80 °C den Widerstand \(6{,}2\ \Omega\).

  1. Bestimmen Sie den Faktor, um den sich der Widerstand des NTC pro 20 °C Temperaturanstieg ändert.
  2. Vergleichen Sie das Verhalten von NTC und Kupferdraht zwischen 20 °C und 80 °C.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bilde den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Messwerte — und prüfe, ob er bei allen Schritten derselbe ist.„Bestimmen“ verlangt den Weg und das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wähle als Kriterien Richtung und Stärke der Änderung. Rechne beide Male mit dem Verhältnis Endwert zu Anfangswert, nicht mit der Differenz.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{6{,}0}{12{,}0}=\frac{3{,}0}{6{,}0}=\frac{1{,}5}{3{,}0}=0{,}5\). Der Widerstand halbiert sich also bei jedem Anstieg um 20 °C; der Faktor beträgt 0,5.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

NTC: \(1{,}5\ \mathrm{k\Omega} : 12{,}0\ \mathrm{k\Omega} = 0{,}125\) — der Widerstand fällt auf ein Achtel. Kupfer: \(6{,}2\ \Omega : 5{,}0\ \Omega = 1{,}24\) — er steigt um etwa 24 %. Gemeinsamkeit: Beide Bauteile reagieren auf Temperatur. Unterschied: beim NTC gegenläufig und sehr viel stärker, weil die Wärme dort zusätzliche Ladungsträger erzeugt, während sie im Kupfer die vorhandenen nur bremst.

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Zähler, Löcher und ein voreiliger Vorschlag

AFB II–III

In einer Simulation eines reinen Siliziumgitters sind bei 20 °C sechs Bindungen aufgebrochen, bei 80 °C sind es 48. Zwei Zähler laufen mit: „freie Elektronen“ und „Löcher“. Sie zeigen bei jeder Temperatur denselben Wert. In echtem Silizium ist bei Zimmertemperatur nur etwa eine von einer Billion Bindungen aufgebrochen; der spezifische Widerstand beträgt rund \(2000\ \Omega\,\mathrm{m}\). Ein Schüler schlägt vor, reines Silizium als Schalter in einem Steuergerät einzusetzen.

  1. Deuten Sie die Beobachtung, dass beide Zähler stets denselben Wert anzeigen.
  2. Weisen Sie nach, dass der Kristall bei 80 °C elektrisch neutral bleibt, und geben Sie die Gesamtzahl der Ladungsträger an.
  3. Nehmen Sie Stellung zu dem Vorschlag des Schülers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Überlege, was beim Aufbrechen einer Bindung entsteht — und ob eines von beiden ohne das andere möglich ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zähle positive und negative Ladungen getrennt. Denke daran, dass ein Loch keine zusätzliche Ladung ist, sondern eine fehlende.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beurteile nach zwei Kriterien: Reicht die Zahl der Ladungsträger? Und ist das Verhalten im Betrieb vorhersagbar? Beziehe beide Zahlenangaben ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jede aufgebrochene Bindung liefert gleichzeitig ein freies Elektron und ein Loch (Paarbildung); bei der Rekombination verschwinden ebenfalls beide zusammen. Im reinen Halbleiter gilt deshalb immer: Zahl der Elektronen = Zahl der Löcher. Genau das ist das Kennzeichen der Eigenleitung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

48 aufgebrochene Bindungen ergeben 48 freie Elektronen und 48 Löcher, zusammen 96 Ladungsträger. Jedes Loch ist kein zusätzliches Teilchen, sondern der Platz, den genau eines dieser Elektronen verlassen hat: Zu jeder negativen beweglichen Ladung gehört eine gleich große positiv wirkende Fehlstelle. Die Summe aller Ladungen ist null — der Kristall bleibt neutral, unabhängig von der Temperatur.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Vorschlag ist abzulehnen. Erstens ist nur etwa eine von einer Billion Bindungen aufgebrochen; mit \(\rho \approx 2000\ \Omega\,\mathrm{m}\) leitet reines Silizium viel zu schlecht für einen Schalter. Zweitens hängt die Ladungsträgerzahl vollständig von der Temperatur ab — ein Bauteil, dessen Widerstand sich beim Anfassen ändert, ist nicht steuerbar. Nötig sind Ladungsträger, deren Anzahl man selbst festlegt: durch Dotierung. Vollständig ist die Antwort mit klarer Position und beiden Argumenten.