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Rechnen wie ein Physiker: umstellen, einsetzen, runden

Zwei Sachaufgaben nach dem festen Schema: Gegeben, gesucht, Formel, Rechnung, Antwort — sauber aufgeschrieben.

1

Der Sack Blumenerde für den Dachgarten

AFB I–II

Familie Brandt legt auf dem Flachdach ihres Hauses einen Dachgarten an. Mit einer Seilrolle zieht Herr Brandt einen Sack Blumenerde mit der Masse 20 kg vom Hof auf das Dach, das 9,0 m über dem Hof liegt. Die Lageenergie berechnet man mit \(E = m \cdot g \cdot h\), der Ortsfaktor beträgt \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).

M1Der Sack auf dem Weg nach oben
9,0 m20 kgHof (h = 0)
Als Bezugsniveau (h = 0) dient der Hof.
  1. Geben Sie in der üblichen Form an, was gegeben und was gesucht ist – mit Formelzeichen, Zahlenwert und Einheit.
  2. Berechnen Sie die Lageenergie des Sacks auf dem Dach bezogen auf den Hof und runden Sie sinnvoll.
  3. Weisen Sie mit einer Einheitenprobe nach, dass Ihre Rechnung tatsächlich eine Energie in Joule liefert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gegeben sind alle Zahlen aus dem Text – und eine Konstante, die nicht als Zahl im Aufgabenteil steht, sondern in der Formelsammlung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hier muss nichts umgestellt werden. Einsetzen mit Einheiten, erst am Ende runden (zwei bis drei geltende Ziffern).
Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe nur die Einheiten hintereinander und kürze wie bei Brüchen. Was ergibt ein Newton mal ein Meter?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben: \(m = 20\ \text{kg}\), \(h = 9{,}0\ \text{m}\), \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\)

Gesucht: Lageenergie \(E\) in J

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E = m \cdot g \cdot h = 20\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 9{,}0\ \text{m} = 1765{,}8\ \text{J} \approx 1{,}77\ \text{kJ}\)

Der Sack hat auf dem Dach rund 1,77 kJ Lageenergie bezogen auf den Hof. Plausibel: etwa so viel wie bei einem Menschen, der ein Stockwerk hochsteigt (rund 1,8 kJ) – weniger Masse, dafür größere Höhe.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\text{kg} \cdot \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot \text{m} = \text{N} \cdot \text{m} = \text{J}\)

Das Kilogramm kürzt sich weg, Newtonmeter ist gleich Joule – die Einheit der Energie. Die Rechnung liefert also tatsächlich eine Energie.

2

Wie hoch ist der Aussichtsturm?

AFB II–III

Die Klasse 9b wandert zu einem Aussichtsturm. Selin (55 kg) trägt eine Fitnessuhr, die nach dem Aufstieg anzeigt: „Beim Treppensteigen hast du 38 kJ Lageenergie gewonnen.“ Die Klasse möchte daraus die Höhe der Plattform über dem Boden bestimmen.

Zwei Mitschüler haben schon gerechnet:

Ben: \(h = 38 \cdot 55 \cdot 9{,}81 = 20\,502{,}9\) → „Der Turm ist 20 502,9 m hoch.“
Paula: \(h = 38\,000 : 55 : 9{,}81 = 70{,}4290612547\) → „\(h = 70{,}4290612547\ \text{m}\)“

M2Der Aussichtsturm
h = ?m = 55 kgΔE = 38 kJ
Bezugsniveau ist der Boden am Fuß des Turms.
  1. Stellen Sie aus \(E = m \cdot g \cdot h\) eine Gleichung für die Höhe \(h\) auf und geben Sie jeden Umformungsschritt an.
  2. Ermitteln Sie die Höhe der Plattform mit Einheiten, sinnvoll gerundet.
  3. Bewerten Sie die Lösungen von Ben und Paula. Gehen Sie dabei auf Rechenweg, Einheiten, Runden und Plausibilität ein.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wie bei einer Waage: Durch welches Produkt musst du beide Seiten teilen, damit \(h\) allein steht?
Hinweis zu Aufgabe b)
Achte auf die Einheit der Energie: Die Uhr zeigt kJ an, in die Formel gehört J.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe jede Lösung mit den vier Kriterien aus der Aufgabenstellung. Ein Turm mit 20 km Höhe – kann das sein?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E = m \cdot g \cdot h \quad \big| : (m \cdot g)\)

\(h = \dfrac{E}{m \cdot g}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E = 38\ \text{kJ} = 38\,000\ \text{J}\)

\(h = \dfrac{38\,000\ \text{J}}{55\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}} = \dfrac{38\,000\ \text{N} \cdot \text{m}}{539{,}55\ \text{N}} \approx 70\ \text{m}\)

Die Plattform liegt rund 70 m über dem Boden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ben: Er hat nicht umgestellt, sondern alle Größen multipliziert, und die Energie in kJ statt in J eingesetzt. Einheiten fehlen völlig. Das Ergebnis (über 20 km) ist offensichtlich unplausibel – höher als jeder Berg in Europa. Die Lösung ist falsch.

Paula: Rechenweg und Umrechnung in J sind richtig, die Zahl stimmt. Mängel: Einheiten fehlen in der Rechnung, das Ergebnis ist mit zehn Nachkommastellen unsinnig genau, und es müsste „≈“ statt „=“ stehen. Richtig wäre \(h \approx 70\ \text{m}\).

Fazit: Paulas Lösung ist inhaltlich korrekt, aber unsauber notiert; Bens Lösung ist falsch. Eine Plausibilitätsprüfung hätte Ben den Fehler sofort gezeigt.