Übung AFB III

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Beim Bremsen wird die gesamte Bewegungsenergie durch die Reibungsarbeit entwertet: \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = F \cdot s\), also \(s = \frac{m \cdot v^2}{2 \cdot F}\). Weil die Geschwindigkeit im Quadrat steht, bewirkt die doppelte Geschwindigkeit die vierfache Bewegungsenergie und damit bei gleicher Bremskraft den vierfachen Bremsweg. Die Broschüre unterschätzt die Gefahr also deutlich: Aus beispielsweise 12 m Bremsweg bei 50 km/h werden bei 100 km/h rund 48 m.

Musterlösung: Oben hat jede Kugel nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie, also gilt \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\). Die Masse steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus; übrig bleibt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\), in dem keine Masse mehr vorkommt. Die schwere Kugel hat zwar zehnmal so viel Lageenergie, muss damit aber auch die zehnfache Masse in Bewegung setzen — je Kilogramm steht beiden gleich viel Energie zur Verfügung. Deshalb kommen beide gleich schnell an, wie es schon Galilei beschrieben hat.

Musterlösung: Aus dem Stand besitzt der Wagen nur Lageenergie, je Kilogramm 9,81 N/kg · 40 m ≈ 392 J. Um 42 m zu erreichen, bräuchte er je Kilogramm mindestens 9,81 N/kg · 42 m ≈ 412 J. Da Energie nicht aus dem Nichts entsteht, kann er den zweiten Hügel nicht überwinden — selbst ohne Reibung nicht; er rollt vorher zurück. Startet er dagegen mit 10 m/s, kommen je Kilogramm ½ · (10 m/s)² = 50 J Bewegungsenergie hinzu, zusammen etwa 442 J. Ohne Reibung reicht das, der Wagen hätte oben noch rund 30 J je Kilogramm Bewegungsenergie. Weil Reibung einen Teil entwertet, müsste man in der Praxis prüfen, ob dieser Vorrat genügt.

Musterlösung: Oben besitzt der Körper nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie. Der Energieerhaltungssatz liefert \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\). Teilt man beide Seiten durch \(m\), bleibt \(g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v^2\); nach Multiplikation mit 2 folgt \(v^2 = 2 \cdot g \cdot h\) und nach dem Wurzelziehen \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\). Einheitenprobe: Unter der Wurzel steht N/kg · m. Wegen 1 N = 1 kg · m/s² ist 1 N/kg = 1 m/s², also ergibt sich √(m/s² · m) = √(m²/s²) = m/s — die Einheit einer Geschwindigkeit.

Musterlösung: Umgerechnet sind 50 km/h : 3,6 ≈ 13,9 m/s. Aus \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) folgt umgestellt \(h = \frac{v^2}{2 \cdot g}\) = (13,9 m/s)² : 19,62 N/kg ≈ 9,8 m. Bei etwa 3 m je Stockwerk entspricht das gut drei Stockwerken, also ungefähr einem Sturz aus einem Fenster im dritten Stock. Die Behauptung des Fahrlehrers ist damit physikalisch gut begründet — mit einer Einschränkung: Beim Auto verformt sich die Knautschzone, was den Aufprall verlängert und abmildert.

Musterlösung: Die Geschwindigkeit wurde in km/h eingesetzt; die Formel \(E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) liefert aber nur mit m/s die Einheit Joule. Richtig ist \(v\) = 90 : 3,6 = 25 m/s und damit \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 800 kg · (25 m/s)² = 250 000 J = 250 kJ. Die Schülerlösung ist um den Faktor 3 240 000 : 250 000 = 12,96 zu groß. Das ist genau 3,6², weil die falsch umgerechnete Geschwindigkeit in der Formel quadriert wird.

Musterlösung: Beim Schwingen wird Lageenergie im Umkehrpunkt in Bewegungsenergie im tiefsten Punkt umgewandelt und wieder zurück. Bei jedem Schwung wirken aber Luftreibung und Reibung am Aufhängepunkt; sie wandeln einen kleinen Teil der Energie in innere Energie der Luft und des Lagers um. Deshalb steht für die nächste Umkehr etwas weniger Lageenergie zur Verfügung, der Ausschlag wird kleiner. Die Aussage ist physikalisch ungenau: Die Energie ist nicht verbraucht oder vernichtet, die Gesamtenergie bleibt erhalten. Sie ist nur entwertet, also in eine Form übergegangen, die das Pendel nicht mehr antreiben kann.

Musterlösung: Im tiefsten Punkt steckt die Energie als Spannenergie in der Feder, im höchsten Punkt als Lageenergie: \(\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 = m \cdot g \cdot h\), also \(h = \frac{D \cdot s^2}{2 \cdot m \cdot g}\). Da der Federweg im Quadrat steht, bewirkt der doppelte Federweg die vierfache Spannenergie und damit – ohne Reibung – die vierfache Sprunghöhe. Die Vermutung ist also falsch, sie unterschätzt den Effekt. Bei realen Spielzeugen wird der Unterschied etwas kleiner, weil Reibung einen Teil entwertet.

Musterlösung: Aus dem Massendefekt folgt \(E = \Delta m \cdot c^2\) = 0,001 kg · 9 · 10¹⁶ m²/s² = 9 · 10¹³ J. Um dieselbe Energie mit Benzin zu gewinnen, bräuchte man \(m = \frac{E}{H}\) = 9 · 10¹³ J : 43 000 000 J/kg ≈ 2,1 · 10⁶ kg, also rund 2100 Tonnen — etwa 70 Tanklastwagen. Ein einziges Gramm verschwundener Masse entspricht damit der Energie von über zwei Millionen Kilogramm Benzin. Das erklärt, warum Kernkraftwerke mit sehr wenig Brennstoff auskommen; es zeigt aber auch, welche Energiemengen bei Unfällen oder in Waffen frei werden können.

Musterlösung: Die Jahresenergie beträgt \(E\) = 3500 · 3 600 000 J = 1,26 · 10¹⁰ J. Aus \(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) folgt \(m = \frac{E}{g \cdot h}\) = 1,26 · 10¹⁰ J : (9,81 N/kg · 250 m) ≈ 5,1 · 10⁶ kg, also rund 5100 m³ Wasser — so viel wie in zwei großen Sportbecken. Diese Menge müsste zusätzlich 250 m über dem Unterbecken liegen, etwa auf einem Berg. Da beim Pumpen und in der Turbine außerdem Energie entwertet wird, wäre sogar noch mehr Wasser nötig. Ein privater Pumpspeicher im Garten ist daher unrealistisch; Pumpspeicher lohnen sich nur als Großanlagen in Gebirgen.