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Übung AFB II

Zehn Sachaufgaben mit mehreren Rechenschritten — Einheiten anpassen, Energieformen gleichsetzen, Ergebnis deuten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Teilen des Kapitels: erst die Situation übersetzen und die Einheiten anpassen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Radfahrerin auf der Landstraße
AFB II

Lena fährt mit ihrem Rennrad mit \(v\) = 27 km/h. Fahrerin und Rad haben zusammen die Masse \(m\) = 70 kg.

a) Rechnen Sie die Geschwindigkeit in m/s um. b) Berechnen Sie die Bewegungsenergie \(E_{\mathrm{kin}}\).

m/s
J
Ansatz: Die Formel \(E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) liefert nur mit \(v\) in m/s Joule. Also zuerst durch 3,6 teilen.
Rechenweg: \(v\) = 27 : 3,6 = 7,5 m/s. \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 70 kg · (7,5 m/s)² = 35 kg · 56,25 m²/s².
Lösung: a) 7,5 m/s b) rund 1969 J
Vollständige Lösung
Umrechnen: \(v\) = 27 km/h : 3,6 = 7,5 m/s. Einsetzen: \(E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) = ½ · 70 kg · 56,25 m²/s² = 1968,75 J. Antwort: Lena hat eine Bewegungsenergie von rund 1970 J, also knapp 2 kJ. Hinweis: Wer 27 km/h direkt einsetzt, erhält 25 515 J — das ist um den Faktor 3,6² ≈ 13 zu groß.
A2
Kran auf der Baustelle
AFB II

Ein Kran hebt eine Palette Ziegel (\(m\) = 1,2 t) vom Boden auf ein Dach in \(h\) = 15 m Höhe. Rechnen Sie mit \(g\) = 9,81 N/kg.

a) Berechnen Sie die Lageenergie \(E_{\mathrm{pot}}\) der Palette in Kilojoule. b) Eine zweite Palette hat nur 600 kg. Berechnen Sie, wie hoch sie gehoben werden müsste, um dieselbe Lageenergie zu haben.

kJ
m
Ansatz: Masse zuerst in kg: 1,2 t = 1200 kg. Dann \(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\). Für b) die Formel nach \(h\) umstellen: \(h = \frac{E_{\mathrm{pot}}}{m \cdot g}\).
Rechenweg: \(E_{\mathrm{pot}}\) = 1200 kg · 9,81 N/kg · 15 m = 176 580 J. \(h\) = 176 580 J : (600 kg · 9,81 N/kg) = 176 580 J : 5886 N.
Lösung: a) rund 176,6 kJ b) 30 m
Vollständige Lösung
Mit \(m\) = 1200 kg ist \(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) = 1200 kg · 9,81 N/kg · 15 m = 176 580 J ≈ 176,6 kJ. Für die leichtere Palette gilt \(h = \frac{E_{\mathrm{pot}}}{m \cdot g}\) = 176 580 J : 5886 N = 30 m. Antwort: Die halbe Masse muss doppelt so hoch gehoben werden. Hinweis: \(E_{\mathrm{pot}}\) ist proportional zu \(m\) und zu \(h\) — halbe Masse und doppelte Höhe heben sich auf.
A3
Stein von der Brücke
AFB II

Ein Stein fällt aus \(h\) = 20 m Höhe von einer Brücke ins Wasser. Die Luftreibung wird vernachlässigt, \(g\) = 9,81 N/kg.

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) kurz vor dem Eintauchen in m/s. b) Geben Sie diese Geschwindigkeit in km/h an.

m/s
km/h
Ansatz: Oben nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie: \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\). Die Masse kürzt sich, es bleibt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\).
Rechenweg: \(v\) = √(2 · 9,81 N/kg · 20 m) = √(392,4 m²/s²) ≈ 19,81 m/s. In km/h: 19,81 · 3,6.
Lösung: a) rund 19,8 m/s b) rund 71,3 km/h
Vollständige Lösung
Energieerhaltung: \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\), nach Kürzen von \(m\) folgt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) = √(392,4 m²/s²) ≈ 19,8 m/s. Umgerechnet: 19,81 m/s · 3,6 ≈ 71,3 km/h. Antwort: Der Stein trifft mit etwa 71 km/h auf das Wasser. Hinweis: Die Masse des Steins wird gar nicht gebraucht — jeder Körper erreicht ohne Reibung dieselbe Geschwindigkeit.
A4
Schlittenfahrt mit Reibung
AFB II

Paul (\(m\) = 45 kg mit Schlitten) startet aus der Ruhe auf einem Rodelhang und fährt \(h\) = 12 m Höhenunterschied hinab. Unten misst sein Freund die Geschwindigkeit \(v\) = 12 m/s. Rechnen Sie mit \(g\) = 9,81 N/kg.

a) Berechnen Sie, wie schnell Paul unten ohne Reibung wäre. b) Berechnen Sie, wie viel Energie durch Reibung entwertet wurde.

m/s
J
Ansatz: a) ohne Reibung gilt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\). b) Die entwertete Energie ist die Differenz aus Lageenergie oben und tatsächlicher Bewegungsenergie unten.
Rechenweg: a) \(v\) = √(2 · 9,81 · 12) m/s ≈ 15,34 m/s. b) \(E_{\mathrm{pot}}\) = 45 · 9,81 · 12 J = 5297,4 J, \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 45 · 12² J = 3240 J.
Lösung: a) rund 15,3 m/s b) rund 2057 J
Vollständige Lösung
Ohne Reibung wäre \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) = √(235,44 m²/s²) ≈ 15,3 m/s. Tatsächlich besitzt Paul oben \(E_{\mathrm{pot}}\) = 45 kg · 9,81 N/kg · 12 m = 5297,4 J und unten nur \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 45 kg · (12 m/s)² = 3240 J. Die Differenz 5297,4 J − 3240 J = 2057,4 J wurde durch Reibung in innere Energie von Kufen, Schnee und Luft umgewandelt. Antwort: Rund 2060 J, also knapp 40 %, wurden entwertet. Hinweis: Die Energie ist nicht verschwunden — sie ist nur nicht mehr als Bewegungsenergie nutzbar.
A5
Dartpfeil aus der Federpistole
AFB II

In einer Spielzeugpistole wird eine Feder (\(D\) = 250 N/m) um \(s\) = 8,0 cm zusammengedrückt. Beim Abschuss überträgt sie ihre Energie vollständig auf einen Schaumstoffpfeil mit \(m\) = 20 g.

a) Berechnen Sie die Spannenergie \(E_{\mathrm{spann}}\). b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) des Pfeils beim Verlassen des Laufs.

J
m/s
Ansatz: Einheiten zuerst: 8,0 cm = 0,080 m und 20 g = 0,020 kg. Dann \(E_{\mathrm{spann}} = E_{\mathrm{kin}}\), also \(v = \sqrt{\frac{2 \cdot E}{m}}\).
Rechenweg: \(E_{\mathrm{spann}}\) = ½ · 250 N/m · (0,080 m)² = 0,8 J. \(v\) = √(2 · 0,8 J : 0,020 kg) = √(80 m²/s²).
Lösung: a) 0,80 J b) rund 8,9 m/s
Vollständige Lösung
Mit \(s\) = 0,080 m ist \(E_{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) = ½ · 250 N/m · 0,0064 m² = 0,80 J. Diese Energie steckt danach vollständig im Pfeil: \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) = 0,80 J, also \(v = \sqrt{\frac{2 \cdot E}{m}}\) = √(1,6 J : 0,020 kg) = √(80 m²/s²) ≈ 8,9 m/s. Antwort: Der Pfeil fliegt mit knapp 9 m/s los. Hinweis: Mit 8 cm statt 0,08 m käme das Zehntausendfache heraus.
A6
Federkonstante aus einem Messversuch
AFB II

Hängt man an eine Schraubenfeder ein Gewichtsstück mit der Gewichtskraft \(F\) = 6,0 N, dehnt sie sich um \(s\) = 12 cm.

a) Bestimmen Sie die Federkonstante \(D\). b) Berechnen Sie die Spannenergie der Feder, wenn sie um 20 cm gedehnt ist.

N/m
J
Ansatz: Aus \(F = D \cdot s\) folgt \(D = \frac{F}{s}\) — mit \(s\) in Metern. Danach \(E_{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) mit \(s\) = 0,20 m.
Rechenweg: \(D\) = 6,0 N : 0,12 m = 50 N/m. \(E_{\mathrm{spann}}\) = ½ · 50 N/m · (0,20 m)² = 25 N/m · 0,04 m².
Lösung: a) 50 N/m b) 1,0 J
Vollständige Lösung
Die Federkonstante ist \(D = \frac{F}{s}\) = 6,0 N : 0,12 m = 50 N/m. Bei \(s\) = 0,20 m ergibt sich \(E_{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) = ½ · 50 N/m · 0,04 m² = 1,0 J. Antwort: Die Feder hat \(D\) = 50 N/m und speichert bei 20 cm Dehnung 1,0 J. Hinweis: Die Dehnung steht im Quadrat — 20 cm statt 12 cm bringt fast die dreifache Energie, nicht nur das 1,7-Fache.
A7
Energie aus dem E-Bike-Akku
AFB II

Der Motor eines E-Bikes wird vom Akku mit \(U\) = 36 V und \(I\) = 4,0 A versorgt. Die Fahrt dauert 1,5 Stunden.

a) Berechnen Sie die elektrische Energie \(E_{\mathrm{el}}\) in Joule. b) Geben Sie diese Energie in Kilowattstunden an.

J
kWh
Ansatz: \(E_{\mathrm{el}} = U \cdot I \cdot t\) liefert Joule nur mit der Zeit in Sekunden: 1,5 h = 5400 s. Für kWh durch 3 600 000 teilen.
Rechenweg: \(E_{\mathrm{el}}\) = 36 V · 4,0 A · 5400 s = 777 600 J. In kWh: 777 600 : 3 600 000.
Lösung: a) 777 600 J b) 0,216 kWh
Vollständige Lösung
Mit \(t\) = 1,5 · 3600 s = 5400 s ist \(E_{\mathrm{el}} = U \cdot I \cdot t\) = 36 V · 4,0 A · 5400 s = 777 600 J. Wegen 1 kWh = 3 600 000 J sind das 777 600 : 3 600 000 = 0,216 kWh. Antwort: Der Motor setzt rund 0,78 MJ bzw. 0,22 kWh um. Hinweis: V · A · s = W · s = J — die Einheitenprobe zeigt sofort, ob die Zeit richtig umgerechnet wurde.
A8
Kugel am Faden
AFB II

Eine Stahlkugel (\(m\) = 0,30 kg) hängt an einem langen Faden. Sie wird so ausgelenkt, dass sie \(h\) = 0,45 m höher liegt als im tiefsten Punkt, und dann losgelassen. Reibung wird vernachlässigt, \(g\) = 9,81 N/kg.

a) Berechnen Sie die Bewegungsenergie der Kugel im tiefsten Punkt. b) Berechnen Sie ihre Geschwindigkeit dort.

J
m/s
Ansatz: Im Umkehrpunkt nur Lageenergie, im tiefsten Punkt nur Bewegungsenergie. Also \(E_{\mathrm{kin}} = E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\), danach \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\).
Rechenweg: \(E_{\mathrm{kin}}\) = 0,30 kg · 9,81 N/kg · 0,45 m ≈ 1,324 J. \(v\) = √(2 · 9,81 · 0,45) m/s = √(8,829 m²/s²).
Lösung: a) rund 1,32 J b) rund 2,97 m/s
Vollständige Lösung
Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Bewegungsenergie im tiefsten Punkt gleich der Lageenergie im Umkehrpunkt: \(E_{\mathrm{kin}}\) = 0,30 kg · 9,81 N/kg · 0,45 m ≈ 1,32 J. Aus \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h\) folgt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) = √(8,829 m²/s²) ≈ 2,97 m/s. Antwort: Die Kugel saust mit knapp 3 m/s durch den tiefsten Punkt. Hinweis: Die Fadenlänge spielt keine Rolle — entscheidend ist nur der Höhenunterschied.
A9
Motorroller bremst
AFB II

Ein Motorroller (\(m\) = 150 kg mit Fahrer) fährt mit \(v\) = 36 km/h. Beim Bremsen wirkt die konstante Bremskraft \(F\) = 1500 N.

a) Berechnen Sie die Bewegungsenergie zu Beginn des Bremsvorgangs. b) Berechnen Sie den Bremsweg \(s\).

J
m
Ansatz: 36 km/h = 10 m/s. Die gesamte Bewegungsenergie wird von der Bremskraft längs des Bremswegs entwertet: \(E_{\mathrm{kin}} = F \cdot s\), also \(s = \frac{E}{F}\).
Rechenweg: \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 150 kg · (10 m/s)² = 7500 J. \(s\) = 7500 J : 1500 N.
Lösung: a) 7500 J b) 5,0 m
Vollständige Lösung
Mit \(v\) = 36 km/h : 3,6 = 10 m/s ist \(E_{\mathrm{kin}}\) = ½ · 150 kg · 100 m²/s² = 7500 J. Diese Energie nimmt die Bremskraft als Reibungsarbeit \(E = F \cdot s\) weg, also \(s = \frac{E}{F}\) = 7500 J : 1500 N = 5,0 m. Antwort: Der Roller steht nach 5,0 m. Hinweis: 1 J : 1 N = 1 Nm : 1 N = 1 m — die Einheitenprobe bestätigt die Rechnung.
A10
Wasser aus der Talsperre
AFB II

Aus einer Talsperre strömen 500 m³ Wasser durch ein Rohr zu den Turbinen, die \(h\) = 80 m tiefer liegen. 1 m³ Wasser hat die Masse 1000 kg; \(g\) = 9,81 N/kg.

a) Berechnen Sie die Lageenergie des Wassers in Megajoule. b) Geben Sie diese Energie in Kilowattstunden an.

MJ
kWh
Ansatz: Masse: 500 m³ = 500 000 kg. Dann \(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\). Für kWh durch 3 600 000 J teilen (oder MJ durch 3,6).
Rechenweg: \(E_{\mathrm{pot}}\) = 500 000 kg · 9,81 N/kg · 80 m = 392 400 000 J = 392,4 MJ. In kWh: 392,4 : 3,6.
Lösung: a) 392,4 MJ b) 109 kWh
Vollständige Lösung
Das Wasser hat die Masse \(m\) = 500 · 1000 kg = 500 000 kg. Damit ist \(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) = 500 000 kg · 9,81 N/kg · 80 m = 392 400 000 J = 392,4 MJ. Wegen 1 kWh = 3,6 MJ sind das 392,4 : 3,6 = 109 kWh. Antwort: Die 500 m³ Wasser tragen 109 kWh Lageenergie — so viel braucht ein Haushalt in etwa zehn Tagen. Hinweis: Große Zahlen sauber mit Vorsätzen schreiben, sonst verliert man leicht drei Nullen.