MINT lernen

Rechnen mit den Energieformen — Überblick

Zwei gemischte Sachaufgaben quer durch die acht Energieformen — Formel finden, umstellen, einsetzen.

1

Das Lastenrad der Bäckerei

AFB I–II

Die Bäckerei Hansen liefert morgens Brötchen mit einem E-Lastenrad aus. Der Auszubildende Malte soll für eine Präsentation zeigen, welche Energien sich aus dem Datenblatt (M1) berechnen lassen. Die Tour dauert 20 min, der Motor unterstützt während der ganzen Zeit.

M1Datenblatt des Lastenrads
Leermasse Rad: 60 kgZuladung (Fahrer + Brot): 120 kgReisegeschwindigkeit: 21,6 km/hMotorspannung: 36 VMotorstromstärke (Mittelwert): 7,0 AAkkukapazität: 540 WhHöhe der Ladefläche: 0,55 m
Nicht jede Angabe wird für jede Rechnung gebraucht.
  1. Entnehmen Sie dem Datenblatt, welche Angaben Sie für die Bewegungsenergie des beladenen Rades und welche Sie für die elektrische Energie des Motors brauchen, und geben Sie jeweils die Formel an.
  2. Berechnen Sie die Bewegungsenergie des beladenen Rades bei Reisegeschwindigkeit.
  3. Bestimmen Sie die elektrische Energie, die der Motor während der Tour umsetzt, in J und in kJ.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Lies nicht den Text, sondern die Größen: Welche Buchstaben kommen in \(E = \tfrac12 m v^2\) vor, welche in \(E = U \cdot I \cdot t\)? Die Masse setzt sich aus zwei Angaben zusammen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Geschwindigkeit zuerst durch 3,6 teilen, dann quadrieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Tourdauer steht im Text, nicht im Datenblatt. Minuten in Sekunden umrechnen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bewegungsenergie \(E = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\): Leermasse und Zuladung (zusammen \(m = 180\ \text{kg}\)) sowie Reisegeschwindigkeit.

Elektrische Energie \(E = U \cdot I \cdot t\): Motorspannung, Motorstromstärke und (aus dem Text) die Zeit.

Nicht gebraucht: Akkukapazität und Höhe der Ladefläche.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v = 21{,}6 : 3{,}6 = 6{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

\(E = \tfrac12 \cdot 180\ \text{kg} \cdot \left(6{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 90 \cdot 36\ \text{J} = 3240\ \text{J} \approx 3{,}2\ \text{kJ}\)

Das beladene Rad hat eine Bewegungsenergie von rund 3,2 kJ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t = 20 \cdot 60\ \text{s} = 1200\ \text{s}\)

\(E = U \cdot I \cdot t = 36\ \text{V} \cdot 7{,}0\ \text{A} \cdot 1200\ \text{s} = 302\,400\ \text{J} \approx 302\ \text{kJ}\)

Der Motor setzt während der Tour rund 302 kJ um. Einheitenprobe: \(\text{V} \cdot \text{A} \cdot \text{s} = \text{W} \cdot \text{s} = \text{J}\).

2

Die Messprotokolle der Physik-AG

AFB II–III

Die Physik-AG hat an einem Projekttag vier Energiemessungen durchgeführt. Leider wurde auf den Protokollkarten (M2) nicht notiert, welche Energieform jeweils gemeint ist – nur die Messwerte stehen darauf.

Jannik hat sich schon an Protokoll C versucht und schreibt: „\(E = 3{,}7 \cdot 0{,}80 \cdot 45 = 133{,}2\ \text{J}\). Mehr als ein paar hundert Joule können es bei so kleinen Werten für Spannung und Stromstärke auch gar nicht sein.“

M2Die vier Protokollkarten
Protokoll A · Apfel am Baumm = 0,25 kgh = 3,2 m über dem RasenProtokoll B · Feder im KlappverschlussD = 1500 N/ms = 4,0 cmProtokoll C · Powerbank lädt KopfhörerU = 3,7 V · I = 0,80 At = 45 minProtokoll D · Frisbee im Flugm = 175 gv = 10 m/s
Die Größen auf einer Karte verraten die Formel – der Ortsfaktor g steht nie auf einer Karte.
  1. Begründen Sie für jedes Protokoll, welche Energieform und welche Formel zu den Messwerten gehört.
  2. Werten Sie die vier Protokolle aus, indem Sie jeweils die Energie berechnen und die Protokolle nach der Größe der Energie ordnen.
  3. Überprüfen Sie Janniks Rechnung und seine Schlussfolgerung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zähle die Größen je Karte: Zwei Größen mit m und v, m und h, D und s – oder drei Größen mit U, I und t? Denke bei der Lageenergie an die Konstante, die nicht auf der Karte steht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vor dem Einsetzen alle Werte in Grundeinheiten bringen: cm → m, g → kg, min → s. Bei zwei Formeln erst umrechnen, dann quadrieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kontrolliere die Einheiten in Janniks Rechnung. Kann man aus „kleinen Zahlen“ auf wenig Energie schließen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A: nur Masse und Höhe → Lageenergie, \(E = m \cdot g \cdot h\).

B: Federkonstante und Dehnung → Spannenergie, \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\).

C: Spannung, Stromstärke, Zeit → elektrische Energie, \(E = U \cdot I \cdot t\).

D: Masse und Geschwindigkeit → Bewegungsenergie, \(E = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

A: \(E = 0{,}25\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 3{,}2\ \text{m} \approx 7{,}8\ \text{J}\)

B: \(E = \tfrac12 \cdot 1500\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}040\ \text{m})^2 = 1{,}2\ \text{J}\)

C: \(E = 3{,}7\ \text{V} \cdot 0{,}80\ \text{A} \cdot 2700\ \text{s} \approx 7992\ \text{J} \approx 8{,}0\ \text{kJ}\)

D: \(E = \tfrac12 \cdot 0{,}175\ \text{kg} \cdot \left(10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \approx 8{,}8\ \text{J}\)

Reihenfolge: B (1,2 J) < A (7,8 J) < D (8,8 J) < C (rund 8000 J).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Janniks Rechnung ist falsch: Er hat die Zeit in Minuten statt in Sekunden eingesetzt. Mit \(t = 45\ \text{min} = 2700\ \text{s}\) ergibt sich rund 8,0 kJ – sechzigmal so viel.

Auch die Schlussfolgerung ist falsch: Kleine Werte für \(U\) und \(I\) begrenzen die Energie nicht, denn die Zeit ist der dritte Faktor – bei 2700 s kommen rund 8000 J zusammen. Protokoll C hat damit mit Abstand die größte Energie, rund tausendmal so viel wie der Apfel. Vollständig ist die Antwort, wenn Fehler, Korrektur und falsche Folgerung benannt werden.