Nach dem Hookeschen Gesetz wächst die Federkraft mit der Dehnung. Die Federkonstante hat deshalb die Einheit . Die Spannenergie entspricht der Fläche eines im Kraft-Weg-Diagramm; in der Formel steht die Dehnung im und muss in eingesetzt werden.
Denk an die Herleitung über die Fläche.
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Welche Einheit gehört wohin?
AFB I
Sortiere die Karten nach der Einheit, in der die jeweilige Größe angegeben wird.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Newton pro Meter (N/m)
2Meter (m)
3Joule (J)
Die drei Einheiten verraten dir sofort, ob du eine Größe verwechselt hast: Newton pro Meter ist eine Härte, Meter eine Länge, Joule eine Energie. Die Federkraft F in Newton kommt in der Energieformel gar nicht vor.
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Eine gedehnte Feder
AFB I
Eine Feder mit der Federkonstante 300 N/m wird um 0,2 m gedehnt. Berechne die gespeicherte Spannenergie.
Beide Größen stehen schon in der richtigen Einheit.
E = ½ · 300 N/m · (0,2 m)² — quadriere zuerst.
(0,2)² = 0,04. Damit ist E = 0,5 · 300 · 0,04.
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Begriffe und ihre Bedeutung
AFB I
Finde die sechs Paare aus Fachbegriff und Erklärung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Das Paar „Fläche — gespeicherte Energie" ist das wichtigste: Es erklärt, warum in der Formel ein ½ steht. Die Fläche eines Dreiecks ist eben nur die Hälfte des Rechtecks.
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Stimmt das über Federn?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie richtig oder falsch ist.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 4
Achte auf den Unterschied zwischen Kraft und Federkonstante.
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Das Kraft-Weg-Diagramm lesen
AFB I
Klicke im Schema jeweils das Element an, nach dem gefragt wird.
Klicke das gesuchte Element im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Steigung und Fläche sind zwei verschiedene Dinge: Die Steigung ist die Federkonstante D, die Fläche darunter die Energie. Eine steilere Gerade bedeutet also eine härtere Feder — und bei gleicher Dehnung mehr gespeicherte Energie.
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Der Rechenweg in der richtigen Reihenfolge
AFB I
Bringe die fünf Schritte einer typischen Spannenergie-Aufgabe in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Gegeben notieren: Federkonstante D und Dehnung s.
2Die Dehnung in Meter umrechnen (cm : 100, mm : 1000).
3Die Dehnung quadrieren: s².
4In die Formel einsetzen: E = ½ · D · s².
5Das Ergebnis mit der Einheit J aufschreiben.
Entscheidend ist die Reihenfolge von Schritt 2 und 3: erst umrechnen, dann quadrieren. Wer zuerst quadriert und dann durch 100 teilt, liegt um den Faktor 100 daneben.
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Schritt für Schritt: das Spielzeugkatapult
AFB II
Ein Spielzeugkatapult hat die Federkonstante 250 N/m und wird um 40 cm gespannt. Arbeite dich Schritt für Schritt zur Spannenergie vor.
Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Wie viel Meter sind 40 cm?m
Wie groß ist s² (in m²)?
Wie groß ist E = ½ · D · s² in Joule?J
Erst umrechnen, dann quadrieren, dann einsetzen.
40 cm = 0,4 m und 0,4² = 0,16.
E = 0,5 · 250 · 0,16 = 20 J.
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Welche Feder speichert wie viel?
AFB II
Setze in jeder Zeile ein Kreuz in der Spalte mit der passenden Spannenergie.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Feder
2 J
4 J
9 J
D = 100 N/m, s = 0,2 m
D = 200 N/m, s = 0,2 m
D = 50 N/m, s = 0,6 m
D = 800 N/m, s = 0,1 m
D = 450 N/m, s = 0,2 m
Die dritte Zeile ist lehrreich: Die weichste Feder (D = 50 N/m) speichert am meisten, weil sie am weitesten gedehnt ist. Die Dehnung geht eben quadratisch ein, die Federkonstante nur einfach.
Rechne jede Zeile mit E = ½ · D · s² durch. Quadriere zuerst die Dehnung.
0,2² = 0,04 und 0,6² = 0,36 und 0,1² = 0,01. Damit ergeben sich 2 J, 4 J, 9 J, 4 J und 9 J.
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Rückwärts rechnen: Wie weit gedehnt?
AFB II
Eine Feder mit D = 400 N/m speichert 8 J Spannenergie. Um wie viele Meter wurde sie gedehnt?
Stelle nach s um: s = √(2 · E : D).
Rechne zuerst 2 · E : D aus und ziehe dann die Wurzel.
2 · 8 : 400 = 0,04.
√0,04 = 0,2, also s = 0,2 m = 20 cm.
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Feder und Energie verbinden
AFB II
Verbinde jede Feder mit der Spannenergie, die sie speichert.
Klicke links eine Feder an und dann rechts ihre Energie — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Das sind genau die Zahlen aus dem Unterricht. Ein Blick auf die Größenordnung genügt oft: Nur eine der Federn wird um ganze 4 Meter gedehnt — sie muss die 3200 J sein.
Rechne der Reihe nach: ½ · D · s². Bei s = 0,8 m ist s² = 0,64.
½ · 20 · 0,64 = 6,4 · ½ · 900 · 0,04 = 18 · ½ · 400 · 16 = 3200 · ½ · 200 · 0,01 = 1 · ½ · 800 · 0,36 = 144.
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Die Tabelle vervollständigen
AFB II
In jeder Zeile fehlt genau eine Größe. Ergänze sie — mal vorwärts, mal rückwärts gerechnet.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Feder
D in N/m
s in m
E in J
Feder A
250
0,4
Feder B
0,5
25
Feder C
600
12
Feder D
45
0,25
Feder E
0,3
45
Für D stellst du um zu D = (2 · E) : s², für s zu s = √((2 · E) : D). Die Feder D ist der Expander aus der Musterrechnung: 1,41 J — und nicht 14 062,5 J, wie es bei Zentimetern herauskäme.
Feder A und D: einsetzen. Feder B und E: D = (2 · E) : s². Feder C: s = √((2 · E) : D).
Ein Schüler rechnet: „Ein Gummiseil (D = 60 N/m) wird 50 cm gedehnt. E = ½ · 60 · 50² = 75 000 J." Welche Aussagen sind richtig?
Mehrere Antworten sind richtig.
Rechne mit der korrigierten Dehnung noch einmal nach.
50 cm = 0,5 m, also s² = 0,25 statt 2500.
E = 0,5 · 60 · 0,25 = 7,5 J. Weil s quadriert wird, war der Wert nicht 100-fach, sondern 10 000-fach zu groß.
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Was passiert mit der Energie?
AFB II
Eine Feder speichert eine bestimmte Spannenergie. Wie verändert sie sich in den fünf Fällen?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel, 2 = die Hälfte, 3 = bleibt gleich, 4 = das Doppelte, 5 = das Vierfache. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ein Viertel5 = das Vierfache
Die Dehnung wird verdoppelt, D bleibt gleich.
Die Federkonstante wird verdoppelt, s bleibt gleich.
Die Dehnung wird halbiert, D bleibt gleich.
Die Federkonstante wird halbiert, s bleibt gleich.
Die Dehnung wird halbiert und die Federkonstante vervierfacht.
Der ganze Unterschied steckt im Quadrat: Ein Faktor bei D wandert einfach durch, ein Faktor bei s wird quadriert. Doppelte Dehnung heißt deshalb vierfache Energie — das ist der Grund, warum ein weit ausgezogener Bogen so viel gefährlicher ist als ein halb gespannter.
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Die Musterlösung zusammenbauen
AFB II
Ein Expander hat die Federkonstante 45 N/m und wird um 25 cm gedehnt. Baue die vollständige Lösung — so, wie sie in der Klassenarbeit volle Punktzahl gäbe.
Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden übrig gebliebenen Bausteine sind die zwei Klassiker: in Zentimetern gerechnet (Faktor 10 000 zu groß) und die Einheit Newton statt Joule.
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Schätzen: das Trampolintuch
AFB II
Ein Trampolintuch wirkt beim Sprung wie eine Feder mit D = 4000 N/m und wird 40 cm eingedrückt. Schätze zuerst die gespeicherte Spannenergie — und rechne erst danach nach.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 J1000 J
E = ½ · 4000 N/m · (0,4 m)² = 320 J. Das entspricht der Lageenergie eines 40-kg-Kindes in knapp einem Meter Höhe — genau die Sprunghöhe, die ein Trampolin liefert.
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Der Bogenschuss Schritt für Schritt
AFB II
Lina berechnet die Spannenergie eines Sportbogens mit D = 800 N/m, der 60 cm ausgezogen wird. Entscheide bei jedem Schritt, wie es weitergeht.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Vier Schritte, vier typische Fehlerquellen: nicht umgerechnet, falsch quadriert, das ½ vergessen, die Einheit vergessen.
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Fehler finden und richtigstellen
AFB III
Sechs Aussagen zur Feder aus dem Tafelbild (Ruhelänge 60 cm, mit Gewicht 80 cm). Klicke die falschen an und trage jeweils den richtigen Wert ein.
Klicke die Zeilen an, die du für falsch hältst — dabei klappt ein Feld für die Korrektur auf. Geprüft wird beides: die Auswahl und die Korrekturen.
Richtig ist:
Richtig ist:
Richtig ist:
Zeile 2 ist der Klassiker: Eingesetzt wird immer nur der Unterschied zur Ruhelänge, nie die ganze Federlänge. In Zeile 5 wurde die Wurzel vergessen: (2 · 3200) : 400 = 16, und erst √16 = 4 ist die Auslenkung.
Rechne Zeile 4 und 5 selbst nach: E = ½ · D · s² bzw. s = √((2 · E) : D).
Gegeben sind E = 3200 J und D = 400 N/m; gesucht ist die Auslenkung. Arbeite dich durch den Entscheidungsbaum und schau, wo du herauskommst.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Alle drei Wege gehen von derselben Formel aus — der Baum entscheidet nur, nach welcher Größe du sie umstellst. Nur beim Weg zu s kommt am Ende eine Wurzel dazu: s = √((2 · 3200) : 400) = √16 = 4 m.
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Trickaufgabe: Von der Feder in die Höhe
AFB III
Eine Feder mit D = 500 N/m wird um 20 cm zusammengedrückt und schleudert eine Stahlkugel (50 g) senkrecht nach oben. Reibung wird vernachlässigt. Wie hoch fliegt die Kugel? Runde auf ganze Meter.
Die gesamte Spannenergie wird zu Lageenergie. Berechne erst E, dann h.
E = ½ · D · s², danach h = E : (m · g) mit g = 9,81 N/kg.
E = 0,5 · 500 · 0,2² = 10 J. Und 50 g sind 0,05 kg.
h = 10 J : (0,05 kg · 9,81 N/kg) = 10 : 0,4905 ≈ 20,4 m, also rund 20 m.
