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Rechnen mit der Spannenergie

Zwei Sachaufgaben rund um das Hookesche Gesetz und die Energie, die in einer Verformung steckt.

1

Die Federgabel am Mountainbike

AFB I–II

In der Federgabel von Lukas’ Mountainbike steckt eine Stahlfeder mit der Federkonstante D = 45 000 N/m. Setzt sich Lukas auf das Rad, wird die Gabel um 2,4 cm zusammengedrückt („Negativfederweg“). Die ungespannte Feder ist 18 cm lang. Für die Federkraft gilt das Hookesche Gesetz \(F = D \cdot s\).

M1Die Federgabel ohne und mit Fahrer
unbelastetmit Fahrers = 2,4 cmFD = 45 000 N/m
Eingesetzt wird die Änderung der Federlänge, nicht die Federlänge selbst.
  1. Geben Sie an, was die Angabe \(D = 45\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\) bedeutet und welcher Wert aus dem Text als \(s\) eingesetzt wird.
  2. Berechnen Sie die Federkraft und die Spannenergie der Feder, wenn Lukas auf dem Rad sitzt.
  3. Bestimmen Sie, wie weit die Gabel bei einer Landung nach einem Sprung einfedert, wenn die Feder dabei 30 J aufnimmt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Einheit N/m liest sich „Newton pro Meter“. Bei welcher Länge aus dem Text hat sich die Feder wirklich verformt?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zuerst Zentimeter in Meter, dann in \(F = D \cdot s\) und in \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\) einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\) nach \(s\) um: mal 2, durch D, zum Schluss die Wurzel.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(D = 45\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\) bedeutet: Um die Feder um 1 m zusammenzudrücken, wären 45 000 N nötig – also 450 N pro Zentimeter. Die Feder ist sehr hart.

Als \(s\) wird die Einfederung \(2{,}4\ \text{cm} = 0{,}024\ \text{m}\) eingesetzt, nicht die Federlänge von 18 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(F = D \cdot s = 45\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}024\ \text{m} = 1080\ \text{N}\)

\(E = \tfrac12 \cdot 45\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}024\ \text{m})^2 = 22\,500 \cdot 0{,}000576\ \text{J} \approx 13\ \text{J}\)

Die Feder drückt mit rund 1080 N zurück und speichert etwa 13 J Spannenergie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s = \sqrt{\dfrac{2 \cdot E}{D}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 30\ \text{J}}{45\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}}} = \sqrt{0{,}00133\ \text{m}^2} \approx 0{,}037\ \text{m}\)

Die Gabel federt bei der Landung um rund 3,7 cm ein. Plausibel: etwas mehr als im Sitzen, aber weit weniger als die Federlänge.

2

Die Feder aus dem Physiklabor

AFB II–III

In der Physik-AG untersucht Sophie eine Schraubenfeder. Sie hängt nacheinander verschiedene Massestücke an und misst jeweils die Dehnung. Ihre Messwerte: Bei 0 cm wirkt 0 N, bei 2,0 cm 1,5 N, bei 4,0 cm 3,0 N, bei 6,0 cm 4,5 N und bei 8,0 cm 6,0 N (M2).

Ihr Partner Noah sagt: „Bei 8 cm speichert die Feder 0,24 J. Wenn ich sie auf 16 cm ziehe, sind es also 0,48 J.“

M2Sophies Messwerte im Kraft-Weg-Diagramm
024681002468s in cmF in N
Die Messpunkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.
  1. Werten Sie die Messreihe aus: Prüfen Sie, ob das Hookesche Gesetz gilt, und berechnen Sie die Federkonstante in N/m.
  2. Ermitteln Sie die Spannenergie bei 8,0 cm Dehnung auf zwei Wegen: als Dreiecksfläche im Diagramm und mit der Formel \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\).
  3. Widerlegen Sie Noahs Aussage und nennen Sie eine Bedingung, unter der Ihre eigene Rechnung überhaupt nur gilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bilde für jeden Messpunkt den Quotienten \(F : s\). Ist er immer gleich? Achtung: \(s\) in Meter umrechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Fläche unter der Geraden bis \(s = 8{,}0\ \text{cm}\) ist ein rechtwinkliges Dreieck: \(\tfrac12 \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.
Hinweis zu Aufgabe c)
In der Formel steht \(s^2\). Überlege außerdem: Lässt sich eine Schraubenfeder beliebig weit dehnen, ohne dass sie sich verändert?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tfrac{F}{s}\): \(\tfrac{1{,}5\ \text{N}}{0{,}020\ \text{m}} = \tfrac{3{,}0\ \text{N}}{0{,}040\ \text{m}} = \tfrac{4{,}5\ \text{N}}{0{,}060\ \text{m}} = \tfrac{6{,}0\ \text{N}}{0{,}080\ \text{m}} = 75\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\)

Der Quotient ist konstant, die Punkte liegen auf einer Ursprungsgeraden: Kraft und Dehnung sind proportional, das Hookesche Gesetz gilt. Federkonstante: \(D = 75\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Dreiecksfläche: \(E = \tfrac12 \cdot 0{,}080\ \text{m} \cdot 6{,}0\ \text{N} = 0{,}24\ \text{J}\)

Formel: \(E = \tfrac12 \cdot 75\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}080\ \text{m})^2 = 37{,}5 \cdot 0{,}0064\ \text{J} = 0{,}24\ \text{J}\)

Beide Wege liefern 0,24 J – die Fläche unter der Kraft-Weg-Geraden ist die Spannenergie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei doppelter Dehnung wird die Spannenergie wegen \(s^2\) viermal so groß: \(E = \tfrac12 \cdot 75\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}16\ \text{m})^2 = 0{,}96\ \text{J}\), nicht 0,48 J. Noah hat übersehen, dass bei doppelter Dehnung auch die Kraft doppelt so groß ist – das Dreieck wird doppelt so breit und doppelt so hoch.

Bedingung: Die Rechnung gilt nur, solange die Feder im elastischen Bereich bleibt, also das Hookesche Gesetz auch bis 16 cm gilt. Wird sie überdehnt, verformt sie sich bleibend und die Formel ist nicht mehr anwendbar – das müsste Sophie mit weiteren Messpunkten prüfen.