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Rechnen: Lageenergie

Ein Ziegelstein auf dem Gerüst tut nichts — und ist trotzdem gefährlich. Rund um E = m · g · h und die Frage, ab wo man die Höhe eigentlich misst.

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Einstieg — Energie, die einfach nur oben liegt

Die zweite große Energieformel — und die Frage, ab wo man die Höhe eigentlich misst.

Ein Ziegelstein auf dem Dachgerüst tut nichts — und ist trotzdem gefährlich.

  • Lageenergie:Diese Energie besitzt ein Körper allein aufgrund seiner Höhe.
  • Zweiter Name:Man nennt sie auch potenzielle Energie, kurz Epot.
  • Drei Größen:Sie hängt von der Masse m, der Höhe h und dem Ortsfaktor g ab.
  • Nicht das Tempo:Wie schnell der Stein ist, spielt keine Rolle — nur, wie hoch er liegt.
  • Kein Quadrat:Anders als bei der Bewegungsenergie geht hier keine Größe quadriert ein.
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Erklärung — E = m · g · h — Hubarbeit, Ortsfaktor, Bezugsniveau

Eine Formel ohne Quadrat, dafür mit einer Entscheidung, die du selbst treffen musst.

Woher kommt die Formel?

Die Formel folgt direkt aus der Arbeit, die du beim Anheben verrichtest.

  • Hubarbeit:Wer einen Körper anhebt, arbeitet gegen dessen Gewichtskraft.
  • Kraft mal Weg:Die Kraft ist die Gewichtskraft F = m · g, der Weg ist die Hubhöhe h.
  • Gespeichert:Die aufgewendete Arbeit steckt danach als Lageenergie im Körper.
Lageenergie aus Masse, Ortsfaktor und Höhe
Epot = m · g · h
Epot

Lageenergie in Joule (J).

m

Masse in Kilogramm (kg).

g

Ortsfaktor, auf der Erde 9,81 N/kg.

h

Höhe über dem Bezugsniveau in Metern (m).

Den Ortsfaktor g entnimmst du nicht der Aufgabe, sondern der Formelsammlung.

  • Konstante:Auf der Erde beträgt der Ortsfaktor g = 9,81 N/kg.
  • Auf dem Mond:Dort sind es nur 1,62 N/kg — derselbe Stein hätte gut ein Sechstel der Lageenergie.
  • Überschlag:Im Kopf darfst du mit g ≈ 10 N/kg rechnen.
  • Mit Taschenrechner:Dort nimmst du immer den genauen Wert 9,81 N/kg.

Die Einheitenprobe

Dass am Ende wirklich Joule herauskommt, kannst du nachrechnen.

Die Einheiten ergeben tatsächlich Joule
kg · N/kg · m = N · m = J

Die Kilogramm kürzen sich weg. Übrig bleibt Newtonmeter — und ein Newtonmeter ist ein Joule.

Ab wo misst man die Höhe?

Die Höhe misst du nicht von irgendwo — den Nullpunkt legst du selbst fest.

  • Bezugsniveau:Das ist die Höhe, die du als h = 0 definierst und von der aus du alles misst.
  • Freie Wahl:Fußboden, Tischplatte oder Kellerboden — du darfst es dir aussuchen.
  • Folge:Der Zahlenwert von Epot ändert sich mit dieser Wahl.
  • Trotzdem eindeutig:Meist zählt nur die Änderung der Lageenergie, und die ist bei jedem Niveau gleich groß.
  • Pflicht:Schreibe dein gewähltes Niveau auf und bleibe innerhalb einer Aufgabe dabei.

Das Bezugsniveau ist der Punkt, an dem die meisten Fehler passieren — und der Punkt, den man am besten sieht, wenn man ihn selbst verschiebt. Die Kiste im Applet bleibt die ganze Zeit an derselben Stelle stehen. Nur die Linie, ab der du die Höhe misst, wanderst du herum.

Der Höhen-Nullpunkt

Dieselbe Kiste, dieselbe Masse — aber drei verschiedene Bezugsniveaus für h = 0.

Regalbrett Tischplatte Fußboden Kellerboden Kiste
Das Bezugsniveau steht auf dem Startwert.

Drei Beobachtungen lohnen sich: Auf dem Regalbrett selbst ist h = 0 und damit E = 0. Vom Kellerboden aus gemessen ist dieselbe Kiste plötzlich am energiereichsten. Und egal welches Niveau du wählst — der Unterschied zwischen zwei Niveaus bleibt immer gleich. Genau deshalb darfst du dir das Niveau aussuchen.

Die Formel umstellen

Nach h oder nach m umgestellt
h = E : (m · g)     m = E : (g · h)

Beide Male teilst du durch das Produkt der beiden übrigen Größen — rechne den Nenner zuerst aus.

Musterrechnung in drei Stufen

Wieder gilt: Erst rechne ich vor, dann rechnest du mit, am Ende rechnest du allein.

Stufe 1 · vollständig vorgerechnet

Aufgabe: Eine Wasserkiste (12 kg) steht auf einem Regalbrett 1,5 m über dem Boden. Wie groß ist ihre Lageenergie bezogen auf den Boden?

1Gegeben und gesucht: m = 12 kg, h = 1,5 m, g = 9,81 N/kg; gesucht: Epot
2Bezugsniveau festlegen: Der Fußboden ist h = 0. Das steht so in der Aufgabe.
3Formel: Epot = m · g · h — E ist gesucht, also nichts umstellen.
4Einsetzen:E = 12 kg · 9,81 N/kg · 1,5 m = 176,58 J
5Antwort: Die Kiste besitzt rund 177 J Lageenergie über dem Boden. Zur Plausibilität: Fällt sie herunter, wird genau diese Energie frei — genug, um den Fliesenboden zu beschädigen.
Stufe 2 · zwei Schritte fehlen

Aufgabe: Ein Kran hebt eine Betonplatte von 800 kg auf 25 m Höhe. Welche Lageenergie hat sie oben?

1Gegeben: m = 800 kg, h = 25 m, g = 9,81 N/kg; gesucht: Epot
2Einsetzen:E = 800 kg · 9,81 N/kg · 25 m = ? J
3Sinnvoll umformen: Das Ergebnis ist sechsstellig — gib es besser in ? kJ an.
4Kontrolle: Es müssen 196 200 J herauskommen, also rund 196 kJ. Ein schneller Überschlag mit g ≈ 10 liefert 200 000 J — passt.
Stufe 3 · jetzt du allein

Aufgabe: Wie hoch musst du einen Stein von 5 kg heben, damit er 1 kJ Lageenergie besitzt?

!Zwei Dinge sind hier anders: Die Energie ist gegeben (du musst umstellen) und sie steht in kJ.
Lösung anzeigen

E = 1 kJ = 1000 J  ·  umgestellt: h = E : (m · g)

h = 1000 J : (5 kg · 9,81 N/kg) = 1000 : 49,05 m = 20,4 m

Du müsstest den Stein rund 20 m hochheben — etwa auf ein siebenstöckiges Haus. Ein Kilojoule ist also gar nicht so wenig.

Aus dem Unterricht

Die Formel an der Tafel — und das Formeldreieck

Bei Epot stellt man nicht um, sondern deckt zu. Genau dieses Dreieck stand im Heft.

Dieselbe Formel, wie sie an der Tafel stand
Epot = m · g · h
Epot

Energie in Joule (J).

m

Masse in Kilogramm (kg).

g

Erdbeschleunigung, 9,81 m/s².

h

Höhe in Metern (m).

E pot m · g · h

So liest man es:

  • Epot gesucht:Zudecken → unten bleibt m · g · h, also Epot = m · g · h.
  • h gesucht:Zudecken → oben bleibt Epot, unten m · g, also h = Epot : (m · g).
  • m gesucht:Genauso zudecken: m = Epot : (g · h).
Aus dem Unterricht mitgenommen: Bei Epot steht kein Quadrat in der Formel — deshalb gibt es hier auch nie eine Wurzel. Umrechnen musst du trotzdem: 250 cm sind 2,5 m.

Unterrichtsmitschrift 1.3.2 Lageenergie

Interaktiv: Der Höhen-Nullpunkt

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Hinweise — Damit nichts schiefgeht

Drei Stellen, an denen es bei der Lageenergie oft hakt:

Hinweis

Rechne zuerst um: Masse in Kilogramm, Höhe in Metern — Gramm durch 1000, Zentimeter durch 100.

Hinweis

Nenne dein Bezugsniveau und benutze es in der ganzen Aufgabe, sonst passen deine Höhen nicht zusammen.

Hinweis

Nimm die senkrechte Höhe statt der Rampenlänge und rechne mit g = 9,81 N/kg.

Videos zur Lageenergie