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Rechnen mit der Kernenergie

Zwei Sachaufgaben rund um den Massendefekt und E = Δm · c² — winzige Massen, gewaltige Energiemengen.

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Kernfusion im Forschungsreaktor

AFB I–II

In einem Fusions-Forschungsreaktor verschmelzen ein Deuteriumkern und ein Tritiumkern — zwei schwere Sorten des Wasserstoffs — zu einem Heliumkern; zusätzlich wird ein Neutron frei. Heliumkern und Neutron wiegen zusammen um \(3{,}1 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}\) weniger als die beiden Ausgangskerne.

Rechnen Sie mit \(c = 3 \cdot 10^{8}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^{6}\ \text{J}\).

Eine einzelne Verschmelzung
ProtonNeutron+Energie+DeuteriumTritiumHeliumNeutronNachher wiegen alle Teilchen zusammen um Δm = 3,1 · 10⁻²⁹ kg weniger als vorher.
Orange: Protonen, blau: Neutronen. Die Anzahl der Teilchen bleibt gleich — nur die Masse wird ein kleines Stück kleiner.
  1. Nennen Sie den Fachbegriff für die fehlende Masse und den Namen des Vorgangs, bei dem sie hier auftritt.
  2. Berechnen Sie die Energie, die bei einer einzigen Verschmelzung frei wird.
  3. Bestimmen Sie, wie viele Verschmelzungen nötig sind, um eine Energie von 1 kWh freizusetzen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei leichte Kerne werden zu einem schwereren. Welche der beiden Arten von Kernumbau ist das?Nennen heißt: Begriffe ohne Erklärung aufzählen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(E = \Delta m \cdot c^2\) mit \(c^2 = 9 \cdot 10^{16}\ \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\). Vorzahlen multiplizieren, Exponenten addieren, am Ende die Vorzahl zwischen 1 und 10 bringen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Teilen Sie die Energie von 1 kWh (in Joule) durch die Energie einer Verschmelzung. Beim Teilen werden die Exponenten subtrahiert.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die fehlende Masse heißt Massendefekt \(\Delta m\). Der Vorgang ist eine Kernfusion: Zwei leichte Kerne verschmelzen zu einem schwereren Kern.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(E = \Delta m \cdot c^2\)

\(E = 3{,}1 \cdot 10^{-29}\ \text{kg} \cdot 9 \cdot 10^{16}\ \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 27{,}9 \cdot 10^{-13}\ \text{J} = 2{,}79 \cdot 10^{-12}\ \text{J} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-12}\ \text{J}\)

Antwortsatz: Bei einer einzigen Verschmelzung werden rund 2,8 · 10⁻¹² J frei — für sich genommen eine winzige Energie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(n = E_{\text{gesamt}} : E_{\text{einzeln}}\)

\(n = \dfrac{3{,}6 \cdot 10^{6}\ \text{J}}{2{,}79 \cdot 10^{-12}\ \text{J}} \approx 1{,}29 \cdot 10^{6-(-12)} = 1{,}29 \cdot 10^{18}\)

Antwortsatz: Für eine einzige Kilowattstunde sind rund 1,3 · 10¹⁸ Verschmelzungen nötig — eine Zahl mit 18 Nullen. Weil Atomkerne so winzig sind, entspricht das trotzdem nur rund 10 Mikrogramm Brennstoff.

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Die Wärmequelle im Marsrover

AFB II–III

Der Marsrover „Perseverance“ fährt ohne Solarzellen. Seine Energie stammt aus einer Radionuklid-Batterie: Darin zerfallen langsam Plutoniumkerne, und bei jedem Zerfall tritt ein winziger Massendefekt auf. Die Batterie gibt pro Jahr etwa \(6{,}3 \cdot 10^{10}\ \text{J}\) Wärme ab; ein Teil davon wird in elektrische Energie für Motoren und Messgeräte umgewandelt.

Der Rover wiegt 1025 kg, die Batterie ist für eine Einsatzdauer von 14 Jahren ausgelegt. Zum Vergleich: Benzin hat einen Heizwert von \(4{,}3 \cdot 10^{7}\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}}\). Rechnen Sie mit \(c = 3 \cdot 10^{8}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).

  1. Ermitteln Sie den Massendefekt, der in einem Jahr in Energie umgewandelt wird, in Milligramm.
  2. Vergleichen Sie diesen Massendefekt mit der Masse Benzin, die man für dieselbe Energie verbrennen müsste.
  3. Beurteilen Sie die Aussage eines Mitschülers: „Weil im Rover ständig Masse in Energie umgewandelt wird, wird er während seiner Mission messbar leichter.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stellen Sie nach \(\Delta m\) um: \(\Delta m = E : c^2\). Umrechnung: \(1\ \text{kg} = 10^{6}\ \text{mg}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Benzinmasse folgt aus \(m = E : H\). Bilden Sie anschließend das Verhältnis der beiden Massen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie den Massendefekt für die ganze Missionsdauer und setzen Sie ihn ins Verhältnis zur Masse des Rovers. Kriterien: Ist die Aussage physikalisch richtig? Ist die Änderung messbar?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(\Delta m = \dfrac{E}{c^2}\)

\(\Delta m = \dfrac{6{,}3 \cdot 10^{10}\ \text{J}}{9 \cdot 10^{16}\ \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} = 0{,}7 \cdot 10^{-6}\ \text{kg} = 7 \cdot 10^{-7}\ \text{kg}\)

\(7 \cdot 10^{-7}\ \text{kg} \cdot 10^{6}\ \tfrac{\text{mg}}{\text{kg}} = 0{,}7\ \text{mg}\)

Antwortsatz: Pro Jahr werden nur 0,7 mg Masse in Energie umgewandelt — etwa so viel wie ein grobes Sandkorn.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(m_{\text{Benzin}} = \dfrac{E}{H} = \dfrac{6{,}3 \cdot 10^{10}\ \text{J}}{4{,}3 \cdot 10^{7}\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} \approx 1{,}47 \cdot 10^{3}\ \text{kg} \approx 1465\ \text{kg}\)

Verhältnis: \(\dfrac{1465\ \text{kg}}{7 \cdot 10^{-7}\ \text{kg}} \approx 2{,}1 \cdot 10^{9}\)

Antwortsatz: Für dieselbe Energie müsste man pro Jahr rund 1,5 t Benzin verbrennen — mehr, als der ganze Rover wiegt, und etwa zwei Milliarden Mal so viel Masse wie der Massendefekt. Außerdem gibt es auf dem Mars keinen Sauerstoff zum Verbrennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Massendefekt in 14 Jahren: \(14 \cdot 0{,}7\ \text{mg} = 9{,}8\ \text{mg} \approx 1 \cdot 10^{-5}\ \text{kg}\)

Anteil an der Rovermasse: \(\dfrac{9{,}8 \cdot 10^{-6}\ \text{kg}}{1025\ \text{kg}} \approx 9{,}6 \cdot 10^{-9}\), also rund ein Hundertmillionstel.

Urteil: Die Aussage ist im Prinzip richtig — Masse wird tatsächlich in Energie umgewandelt, und die abgestrahlte Wärme verlässt den Rover. Das Wort „messbar“ ist aber falsch: Knapp 10 mg bei über einer Tonne kann keine Waage nachweisen; jedes Staubkorn auf dem Rover wiegt mehr. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Teile der Aussage getrennt beurteilt und mit Zahlen begründet werden.