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Rechnen mit der inneren Energie *

Zwei Sachaufgaben rund um E = c · m · ΔT — warum manche Stoffe viel schneller heiß werden als andere.

1

Die Wärmflasche im Bett

AFB I–II

Eine Wärmflasche wird abends mit 1,5 kg Wasser von 70 °C gefüllt und ins Bett gelegt. Am nächsten Morgen hat sich das Wasser auf 30 °C abgekühlt; die abgegebene Energie hat das Bett gewärmt.

Rechnen Sie mit \(c_{\text{Wasser}} = 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\) und \(c_{\text{Öl}} = 2000\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\).

Die Wärmflasche über Nacht
abends: 70 °Cmorgens: 30 °Cüber NachtEnergie ans BettFüllung: 1,5 kg Wasser
Dieselbe Wassermenge, zwei Zeitpunkte. Beim Abkühlen gibt das Wasser genau so viel Energie ab, wie man zum Erwärmen um dieselbe Differenz bräuchte.
  1. Geben Sie die Temperaturänderung \(\Delta T\) des Wassers in Kelvin an.
  2. Berechnen Sie die Energie, die das Wasser über Nacht an das Bett abgibt.
  3. Vergleichen Sie mit einer gleich schweren Füllung aus Speiseöl, die ebenfalls von 70 °C auf 30 °C abkühlt: Welche Füllung wärmt das Bett besser?

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Endtemperatur minus Anfangstemperatur — für die Energie zählt nur der Betrag der Änderung. Eine Celsius-Differenz ist zahlenmäßig gleich der Kelvin-Differenz.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(E = c \cdot m \cdot \Delta T\) — die Formel gilt beim Abkühlen genauso wie beim Erwärmen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie die abgegebene Energie für das Öl mit denselben Werten aus und stellen Sie beide Ergebnisse gegenüber. Nennen Sie den Grund für den Unterschied.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Delta T = 70\ ^\circ\text{C} - 30\ ^\circ\text{C} = 40\ \text{K}\)

Das Wasser kühlt sich um 40 K ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(E = c \cdot m \cdot \Delta T\)

\(E = 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\ \text{kg} \cdot 40\ \text{K} = 252\,000\ \text{J} = 252\ \text{kJ}\)

Antwortsatz: Das Wasser gibt über Nacht 252 kJ an das Bett ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Öl: \(E = 2000\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\ \text{kg} \cdot 40\ \text{K} = 120\,000\ \text{J} = 120\ \text{kJ}\)

Um ebenfalls 252 kJ abzugeben, müsste sich das Öl um \(\Delta T = \dfrac{252\,000\ \text{J}}{2000\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\ \text{kg}} = 84\ \text{K}\) abkühlen — von 70 °C auf −14 °C, was im Bett unmöglich ist.

Antwortsatz: Die Wasserfüllung gibt mehr als doppelt so viel Energie ab und wärmt deshalb besser. Grund: Wasser hat eine gut doppelt so große spezifische Wärmekapazität wie Speiseöl.

2

Der Gartenpool im Frühsommer

AFB II–III

Familie Özdemir hat einen Gartenpool mit 12 m³ Wasser (1 m³ Wasser hat die Masse 1000 kg). Nach einer kühlen Woche hat das Wasser nur 18 °C, gewünscht sind 24 °C.

Eine schwarze Solarmatte auf dem Garagendach gibt an einem sonnigen Tag etwa 90 MJ an das Poolwasser ab. Ohne Abdeckplane verliert der Pool in jeder Nacht etwa 40 MJ an die kühle Luft, mit Plane fast nichts. Alternativ gibt es eine elektrische Poolheizung; eine Kilowattstunde kostet 0,35 €.

Rechnen Sie mit \(c_{\text{Wasser}} = 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\) und \(1\ \text{kWh} = 3{,}6\ \text{MJ}\).

  1. Ermitteln Sie die Energie, die für die gewünschte Erwärmung nötig ist, in Megajoule und in Kilowattstunden.
  2. Schätzen Sie ab, wie viele sonnige Tage die Solarmatte mit und ohne Abdeckplane braucht, um den Pool auf 24 °C zu bringen.
  3. Nehmen Sie Stellung zum Vorschlag des Vaters: „Wir heizen einfach elektrisch, das kostet doch nur ein paar Cent.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zuerst die Masse in Kilogramm, dann \(\Delta T\) bilden, dann \(E = c \cdot m \cdot \Delta T\). Zum Schluss durch 3,6 MJ teilen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ohne Plane zählt nur, was nach einer Nacht übrig bleibt: Gewinn am Tag minus Verlust in der Nacht. Mit Plane zählt der volle Tagesgewinn.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie die Kosten der elektrischen Heizung aus — auch für das nächtliche Warmhalten. Kriterien: Höhe der Kosten, Dauer, Umweltfolgen, Aufwand.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(m = 12 \cdot 1000\ \text{kg} = 12\,000\ \text{kg}\), \(\Delta T = 24\ ^\circ\text{C} - 18\ ^\circ\text{C} = 6\ \text{K}\)

\(E = 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 12\,000\ \text{kg} \cdot 6\ \text{K} = 302\,400\,000\ \text{J} = 302{,}4\ \text{MJ}\)

\(302{,}4\ \text{MJ} : 3{,}6\ \tfrac{\text{MJ}}{\text{kWh}} = 84\ \text{kWh}\)

Antwortsatz: Für die Erwärmung sind rund 302 MJ bzw. 84 kWh nötig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit Plane: \(302{,}4\ \text{MJ} : 90\ \tfrac{\text{MJ}}{\text{Tag}} \approx 3{,}4\) — also 4 sonnige Tage.

Ohne Plane: Netto-Gewinn pro Tag \(90\ \text{MJ} - 40\ \text{MJ} = 50\ \text{MJ}\); \(302{,}4 : 50 \approx 6{,}0\) — also rund 6 sonnige Tage.

Antwortsatz: Mit Plane reichen etwa 4 Sonnentage, ohne Plane dauert es mit rund 6 Tagen fast doppelt so lange. Da das Wetter schwankt, ist das nur eine Abschätzung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kosten Aufheizen: \(84\ \text{kWh} \cdot 0{,}35\ \tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} = 29{,}40\ \text{€}\)

Warmhalten ohne Plane: \(40\ \text{MJ} : 3{,}6 \approx 11{,}1\ \text{kWh}\) pro Nacht, also rund 3,89 € pro Nacht.

Stellungnahme (Beispiel): Der Vater unterschätzt die Kosten deutlich — es sind keine Cent-Beträge, sondern rund 30 € für das Aufheizen und fast 4 € für jede weitere Nacht ohne Plane. Dafür wäre der Pool sofort warm. Sinnvoller ist es, die kostenlose Solarmatte zu nutzen und den Pool nachts abzudecken; dann halbiert sich die Wartezeit, und es entstehen keine Stromkosten. Vollständig ist die Antwort mit Kostenrechnung, mindestens einem Gegenargument und einem begründeten eigenen Standpunkt.