Der Schlagschuss im Eishockey
AFB I–IIBeim Training der Eishockey-Jugend misst ein Radargerät die Geschwindigkeit der Pucks. Beim härtesten Schlagschuss des Tages zeigt es 144 km/h. Ein Puck hat eine Masse von 170 g. Reibung auf dem Eis wird vernachlässigt.
- Geben Sie die Masse und die Geschwindigkeit des Pucks in den Einheiten an, in denen sie in \(E_{\text{kin}} = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\) eingesetzt werden müssen.
- Berechnen Sie die Bewegungsenergie des Pucks.
- Bestimmen Sie, mit welcher Geschwindigkeit in km/h ein Puck geschossen werden müsste, damit er eine Bewegungsenergie von 200 J hat.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m = 170\ \text{g} = 0{,}170\ \text{kg}\)
\(v = 144\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}} : 3{,}6 = 40\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{kin}} = \tfrac12 \cdot 0{,}170\ \text{kg} \cdot \left(40\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}170 \cdot 1600\ \text{J} = 136\ \text{J}\)
Der Puck hat eine Bewegungsenergie von 136 J.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot E}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 200\ \text{J}}{0{,}170\ \text{kg}}} = \sqrt{2353\ \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 48{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
\(48{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3{,}6 \approx 175\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Der Puck müsste mit rund 175 km/h geschossen werden – für 47 % mehr Energie reichen also schon gut 21 % mehr Tempo.
Kugel oder Speer?
AFB II–IIIBei den Kreismeisterschaften stehen sich zwei Werferinnen gegenüber: Hanna stößt die Kugel (4,0 kg) mit einer Abstoßgeschwindigkeit von 13 m/s, Merve wirft den Speer (600 g) mit 28 m/s ab. Beide Werte hat eine Hochgeschwindigkeitskamera bestimmt.
Hanna meint: „Meine Kugel ist fast siebenmal so schwer wie dein Speer – sie hat bestimmt auch viel mehr Energie.“ Merve will nun wissen, wie schnell sie ihren Speer werfen müsste, um Hannas Kugel einzuholen. Zum Vergleich: Weltklasse-Speerwerferinnen erreichen Abwurfgeschwindigkeiten um 29 m/s.
- Erläutern Sie anhand der Formel \(E_{\text{kin}} = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\), warum eine Verdopplung der Geschwindigkeit sich stärker auf die Energie auswirkt als eine Verdopplung der Masse.
- Vergleichen Sie die Bewegungsenergien von Kugel und Speer beim Abwurf und nehmen Sie dabei Bezug auf Hannas Vermutung.
- Bewerten Sie, ob Merve realistischerweise dieselbe Bewegungsenergie wie Hannas Kugel erreichen kann. Ermitteln Sie dazu die nötige Abwurfgeschwindigkeit.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Doppelte Masse: \(\tfrac12 \cdot (2m) \cdot v^2 = 2 \cdot E\) – die Energie verdoppelt sich.
Doppelte Geschwindigkeit: \(\tfrac12 \cdot m \cdot (2v)^2 = 4 \cdot E\) – die Energie vervierfacht sich, weil \(v\) quadriert wird.
Die Geschwindigkeit ist deshalb der wichtigere Faktor: Eine kleine Steigerung des Tempos bringt mehr als eine gleich große Steigerung der Masse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Kugel: \(E = \tfrac12 \cdot 4{,}0\ \text{kg} \cdot \left(13\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 2 \cdot 169\ \text{J} = 338\ \text{J}\)
Speer: \(E = \tfrac12 \cdot 0{,}60\ \text{kg} \cdot \left(28\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 0{,}30 \cdot 784\ \text{J} \approx 235\ \text{J}\)
Die Kugel hat zwar mehr Energie, aber nur etwa das 1,4-Fache – nicht das Siebenfache, wie Hanna vermutet. Die rund doppelt so hohe Geschwindigkeit des Speers gleicht den großen Massenunterschied fast aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot E}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 338\ \text{J}}{0{,}60\ \text{kg}}} \approx \sqrt{1127\ \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 33{,}6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 121\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Merve müsste rund 33,6 m/s erreichen, also etwa 20 % schneller werfen als bisher und deutlich schneller als Weltklasse-Werferinnen (29 m/s).
Urteil: Rechnerisch ist es möglich, realistisch aber nicht erreichbar. Vollständig ist die Antwort mit Rechnung, Vergleich mit dem Weltklasse-Wert und begründetem Fazit.