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Rechnen: Bewegungsenergie

Warum Tempo gefährlicher ist als Gewicht: In E = ½ · m · v² zählt die Geschwindigkeit doppelt. Die wichtigste Formel für die Klassenarbeit.

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Einstieg — Warum Tempo gefährlicher ist als Gewicht

Die erste Energieformel, mit der du richtig rechnest — und die wichtigste für die Klassenarbeit.

Ein Tennisball aus der Hand tut nicht weh — derselbe Ball mit 200 km/h hinterlässt einen blauen Fleck.

  • Nur das Tempo:Die Masse ist in beiden Fällen gleich, den Unterschied macht allein die Geschwindigkeit.
  • Bewegungsenergie:Jeder Körper, der sich bewegt, besitzt sie — sie heißt auch kinetische Energie.
  • Zwei Größen:Sie hängt von der Masse m und der Geschwindigkeit v ab.
  • v im Quadrat:Die Geschwindigkeit geht quadratisch ein und ist damit der weitaus wichtigere Faktor.
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Erklärung — E = ½ · m · v² — Herleitung, Einheiten, Umstellen

Eine Formel, drei Stolperstellen und ein Faktor, den fast alle vergessen.

Woher kommt die Formel?

Die Formel fällt nicht vom Himmel — sie steckt in der Arbeit, die das Beschleunigen kostet.

  • Schieben:Um einen Körper in Bewegung zu bringen, musst du ihn schieben.
  • Beschleunigungsarbeit:So heißt diese Arbeit in der Physik.
  • Gespeichert:Die verrichtete Arbeit steckt danach als Energie im bewegten Körper.
  • Nachgerechnet:Rechnet man die Arbeit vom Stand bis zur Geschwindigkeit v aus, kommt genau dieser Ausdruck heraus.
Bewegungsenergie aus Masse und Geschwindigkeit
Ekin = ½ · m · v²
Ekin

Bewegungsenergie in Joule (J).

m

Masse in Kilogramm (kg).

v

Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s).

Der Faktor ½ ist kein Zufall und keine Rundung — wer ihn weglässt, bekommt doppelt so viel Energie heraus, wie im Körper steckt.

Die drei Stolperstellen

Worauf du beim Einsetzen achten musst
GrößeMuss eingesetzt werden inTypische Angabe in der Aufgabe
Masse mKilogramm (kg)„450 g“, „3,5 t“ → erst umrechnen!
Geschwindigkeit vMeter pro Sekunde (m/s)„90 km/h“ → durch 3,6 teilen!
Ergebnis EJoule (J)oft sinnvoller als kJ angeben

Merke dir die Reihenfolge: erst umrechnen, dann quadrieren — sonst wird der Umrechnungsfehler mitquadriert.

Die Formel umstellen

Manchmal ist die Energie gegeben und du sollst Masse oder Geschwindigkeit bestimmen — dann stellst du um wie in Kapitel 0.4.

Umgestellt nach Masse und nach Geschwindigkeit
m = (2 · E) : v²     v = √(2 · E : m)

Beim Umstellen nach v ziehst du zuletzt die Wurzel — nur so verschwindet das Quadrat.

Musterrechnung in drei Stufen

Erst rechne ich komplett vor, dann übernimmst du Schritt für Schritt mehr — bis du am Ende allein rechnest.

Stufe 1 · vollständig vorgerechnet

Aufgabe: Ein Fahrrad wiegt mit Fahrerin zusammen 80 kg und fährt mit 18 km/h. Wie groß ist die Bewegungsenergie?

1Gegeben und gesucht: m = 80 kg, v = 18 km/h; gesucht: Ekin in J
2Einheiten prüfen: km/h muss in m/s.v = 18 km/h : 3,6 = 5 m/s
3Formel: Ekin = ½ · m · v² — nichts umzustellen, E ist gesucht.
4Einsetzen:E = ½ · 80 kg · (5 m/s)² = 0,5 · 80 · 25 J = 1000 J
5Antwort: Das Fahrrad besitzt 1000 J = 1 kJ Bewegungsenergie. Plausibel: etwa so viel Energie wie ein Apfel, der zwei Meter hoch gehoben wird — passt zu einem gemütlichen Tempo.
Stufe 2 · zwei Schritte fehlen

Aufgabe: Ein Auto (1200 kg) fährt innerorts mit 50 km/h. Wie groß ist seine Bewegungsenergie?

1Gegeben: m = 1200 kg, v = 50 km/h; gesucht: Ekin
2Umrechnen: v = 50 : 3,6 = ? m/s   (rechne auf zwei Nachkommastellen)
3Einsetzen:E = ½ · 1200 kg · ( ? m/s )² = ? J
4Kontrolle: Es müssen rund 116 000 J, also etwa 116 kJ herauskommen. Wenn bei dir 116 kJ steht: perfekt. Wenn 1 667 000 J steht, hast du in km/h gerechnet.
Stufe 3 · jetzt du allein

Aufgabe: Ein Handball hat eine Masse von 450 g und wird mit 90 km/h geworfen. Berechne seine Bewegungsenergie.

!Zwei Fallen stecken drin: Die Masse steht in Gramm, die Geschwindigkeit in km/h. Beides muss vor dem Einsetzen umgerechnet werden.
Lösung anzeigen

m = 450 g = 0,45 kg  ·  v = 90 km/h : 3,6 = 25 m/s

E = ½ · 0,45 kg · (25 m/s)² = 0,5 · 0,45 · 625 J = 140,6 J

Der Ball besitzt rund 141 J Bewegungsenergie — etwa so viel wie ein 1-kg-Buch, das aus 14 Metern Höhe fällt. Deshalb tut ein Handballwurf weh.

Aus dem Unterricht

Die Formel an der Tafel — und wie wir sie nach m umgestellt haben

So stand die beschriftete Formel im Heft, und so entstand die Umstellung Zeile für Zeile.

Die beschriftete Formel aus dem Heft
Ekin = ½ · m · v²
Ekin

Energie in Joule (J).

m

Masse in Kilogramm (kg).

v

Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s).

Umstellen nach der Masse

Ekin = ½ · m · v²| · 2
2 · Ekin = m · v²| : v²
(2 · Ekin) : v² = m
Zwei Stellen, an denen es im Unterricht geklemmt hat: Rechne km/h zuerst um — 72 km/h sind geteilt durch 3,6 genau 20 m/s, und erst dann darf eingesetzt werden. Und die Einheit wird mitquadriert: (20 m/s)² ergibt m²/s², nur so kommt am Ende Joule heraus.

Unterrichtsmitschrift 1.3.1 Bewegungsenergie

Interaktiv: Die v²-Kurve

Formeln versteht man am besten, wenn man an ihnen dreht. In der v²-Kurve wirken sich Masse und Geschwindigkeit unterschiedlich stark auf die Energie aus.

Die v²-Kurve

Der graue Punkt merkt sich den letzten Wert, damit sichtbar wird, wie stark sich die Energie verändert.

v in m/s E in kJ ENERGIE jetzt vorher
Masse und Geschwindigkeit stehen auf den Startwerten.

Wird die Masse verdoppelt, verdoppelt sich auch die Energie — die Kurve wird nur steiler. Wird die Geschwindigkeit verdoppelt, wird die Energie viermal so groß. Genau das meint das Quadrat in der Formel. Die Kurve ist deshalb keine Gerade, sondern eine Parabel: Am rechten Rand wächst sie viel schneller als links.

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Hinweise — Damit nichts schiefgeht

Drei Stellen, an denen es beim v² oft hakt:

Hinweis

Rechne zuerst um: Masse in kg (Gramm : 1000, Tonnen · 1000), Geschwindigkeit in m/s (km/h : 3,6).

Hinweis

Erst umrechnen, dann quadrieren — und den Faktor ½ nicht vergessen, sonst wird das Ergebnis doppelt so groß.

Hinweis

Prüfe die Größenordnung: ein Mensch beim Joggen hat einige hundert Joule, ein Auto einige hundert Kilojoule.

Videos zur Bewegungsenergie