MINT lernen

Die acht Energieformen und ihre Formeln

Zwei Sachaufgaben, bei denen du zuerst die passende Formel aus den acht Energieformen heraussuchen musst.

1

Ein Vormittag am Hafen

AFB I–II

Die Klasse besucht den Hafen. Die Lehrerin bittet, für vier Beobachtungen (M1) die passende Energieformel zu finden: (1) Ein Kran hält einen Container 30 m über dem Kai still. (2) Eine Fähre mit der Masse 450 t fährt mit 5,0 m/s aus dem Hafen. (3) Ein Frachter liegt am Kai und bezieht über ein Landstromkabel Energie aus dem Netz. (4) Die Festmacherleine eines Schiffes ist durch den Wind straff gedehnt.

M1Vier Beobachtungen am Hafen
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Jede Station gehört zu einer anderen Energieform – und damit zu einer anderen Formel.
  1. Ordnen Sie jeder Beobachtung (1) bis (4) die Energieform und die passende Formel zu.
  2. Nennen Sie für die Formeln aus (2) und (4) jedes Formelzeichen mit seiner Bedeutung und der Einheit, in der es eingesetzt wird.
  3. Berechnen Sie die Bewegungsenergie der Fähre in MJ.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle bei jeder Station die Erkennungsfrage: angehoben, bewegt, Strom fließt, verformt? Jede Form hat genau eine Formel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei der Formeln haben ein Quadrat und ein ½. Die Masse gehört immer in kg, Längen in m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zuerst die Tonnen in Kilogramm umrechnen (1 t = 1000 kg), dann quadrieren und einsetzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

(1) Lageenergie: \(E = m \cdot g \cdot h\)

(2) Bewegungsenergie: \(E = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\)

(3) elektrische Energie: \(E = U \cdot I \cdot t\)

(4) Spannenergie: \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

(2): \(m\) Masse in kg, \(v\) Geschwindigkeit in m/s, \(E\) Energie in J.

(4): \(D\) Federkonstante (Härte der Leine) in N/m, \(s\) Dehnung in m, \(E\) Energie in J.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(m = 450\ \text{t} = 450\,000\ \text{kg}\), \(v = 5{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

\(E = \tfrac12 \cdot 450\,000\ \text{kg} \cdot \left(5{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 5\,625\,000\ \text{J} \approx 5{,}6\ \text{MJ}\)

Die Fähre hat eine Bewegungsenergie von rund 5,6 MJ – trotz des langsamen Tempos sehr viel, weil die Masse so groß ist.

2

Die Faustregel des Fahrlehrers

AFB II–III

In der Fahrschule erklärt Herr Krüger: „Wer doppelt so schnell fährt, hat auch doppelt so viel Bewegungsenergie. Und wenn ihr in der Tempo-30-Zone 50 fahrt, ist die Energie nur um zwei Drittel größer – so schlimm ist das also nicht.“

Die Fahrschülerin Aylin kennt aus dem Physikunterricht die Formeln für Bewegungs-, Lage-, Spann- und elektrische Energie und ist skeptisch. Das Fahrschulauto hat mit Fahrer eine Masse von 1100 kg.

M2Gleiches Auto, zwei Geschwindigkeiten
30 km/h50 km/hm = 1100 kgm = 1100 kg
Die Pfeillänge ist proportional zur Geschwindigkeit – nicht zur Energie.
  1. Leiten Sie aus \(E = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\) allgemein her, um welchen Faktor die Bewegungsenergie wächst, wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird.
  2. Untersuchen Sie für \(E = m \cdot g \cdot h\), \(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\) und \(E = U \cdot I \cdot t\), wie sich die Energie ändert, wenn jeweils eine Größe verdoppelt wird. Fassen Sie Ihr Ergebnis in einer Regel zusammen.
  3. Widerlegen Sie die Aussage des Fahrlehrers zum Unterschied zwischen 30 km/h und 50 km/h mit einer Rechnung für das Fahrschulauto.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ersetze \(v\) durch \(2v\) und vereinfache \((2v)^2\). Vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Formel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gehe jede Formel durch: Steht die verdoppelte Größe einfach (linear) oder im Quadrat? Konstanten wie \(g\) werden nicht verdoppelt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne beide Geschwindigkeiten in m/s um und berechne beide Energien. Bilde dann das Verhältnis – „zwei Drittel mehr“ hieße Faktor 1,67.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E_{\text{neu}} = \tfrac12 \cdot m \cdot (2v)^2 = \tfrac12 \cdot m \cdot 4v^2 = 4 \cdot \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 = 4 \cdot E\)

Bei doppelter Geschwindigkeit wird die Bewegungsenergie viermal so groß, weil \(v\) im Quadrat steht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Lageenergie: doppelte Masse oder doppelte Höhe → doppelte Energie (×2).

Spannenergie: doppelte Federkonstante → ×2; doppelte Dehnung → ×4, weil \(s^2\).

Elektrische Energie: doppelte Spannung, Stromstärke oder Zeit → jeweils ×2.

Regel: Steht die Größe linear in der Formel, verdoppelt sich die Energie; steht sie im Quadrat (\(v^2\), \(s^2\)), vervierfacht sie sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(v_1 = 30 : 3{,}6 \approx 8{,}33\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\): \(E_1 = \tfrac12 \cdot 1100\ \text{kg} \cdot (8{,}33\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2 \approx 38\,200\ \text{J} \approx 38\ \text{kJ}\)

\(v_2 = 50 : 3{,}6 \approx 13{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\): \(E_2 = \tfrac12 \cdot 1100\ \text{kg} \cdot (13{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2 \approx 106\,000\ \text{J} \approx 106\ \text{kJ}\)

\(E_2 : E_1 = (50 : 30)^2 \approx 2{,}78\) – die Energie ist nicht um zwei Drittel, sondern um rund 178 % größer, also fast dreimal so groß.

Der Fahrlehrer hat mit dem Verhältnis der Geschwindigkeiten (5 : 3 ≈ 1,67) statt mit dem Verhältnis der Quadrate gerechnet. Seine Aussage ist damit widerlegt – und auch die erste Aussage („doppelt so schnell, doppelt so viel“) ist falsch.