MINT lernen

Anwendung: Trampolin und Sprungfeder

Zwei Sachaufgaben zu Pogo-Stick und Sprungbrett — wie gespannte Federn zur Sprunghöhe werden.

1

Der Pogo-Stick

AFB I–II

Mia hüpft auf einem Pogo-Stick, einem Springstab mit einer kräftigen Stahlfeder. Mia und der Stab haben zusammen die Masse 45 kg. Im tiefsten Punkt ist die Feder um 0,12 m zusammengedrückt; ihre Federkonstante beträgt 12 000 N/m.

Rechnen Sie wie im Unterricht: Die Sprunghöhe wird ab der Stelle gemessen, an der die Feder entspannt ist; Reibung wird vernachlässigt, \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).

Drei Stationen eines Sprungs
① tiefster Punkt② Feder entspannt③ höchster Punkth
Nicht maßstäblich. An jeder Station steckt die gesamte Energie in einer einzigen Energieform.
  1. Nennen Sie für die drei Stationen ① bis ③ jeweils die Energieform, in der die Energie steckt.
  2. Berechnen Sie die Spannenergie der Feder im tiefsten Punkt.
  3. Bestimmen Sie, wie hoch Mia mit dem Pogo-Stick springt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
An welcher Station ist die Feder gespannt, an welcher ist Mia am schnellsten, an welcher am höchsten?
Hinweis zu Aufgabe b)
\(E = \tfrac12 \cdot D \cdot s^2\) — erst \(s\) quadrieren, dann multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Spannenergie = Lageenergie am höchsten Punkt. Hier steht die Masse nur auf einer Seite: \(h = E : (m \cdot g)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

① tiefster Punkt: Spannenergie der Feder. ② Feder entspannt: Bewegungsenergie. ③ höchster Punkt: Lageenergie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E_{\text{Spann}} = \tfrac12 \cdot 12\,000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}12\ \text{m})^2 = 6000 \cdot 0{,}0144\ \text{J} = 86{,}4\ \text{J}\)

Antwortsatz: Im tiefsten Punkt speichert die Feder 86,4 J.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac12 D s^2 = m \cdot g \cdot h \ \Rightarrow\ h = \dfrac{86{,}4\ \text{J}}{45\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}} = \dfrac{86{,}4}{441{,}45}\ \text{m} \approx 0{,}20\ \text{m}\)

Antwortsatz: Mia springt rund 20 cm hoch. Die Masse wird hier gebraucht, weil sie nur auf einer Seite der Gleichung steht.

2

Das federnde Sprungbrett

AFB II–III

Im Schwimmbad federt das 1-m-Brett wie eine Feder mit der Federkonstante 4500 N/m. Lina (55 kg) drückt es beim Absprung um 0,40 m herunter. Ihr Trainer (80 kg) drückt es beim selben Sprung um 0,50 m herunter.

Lina vermutet: „Wenn ich das Brett doppelt so tief herunterdrücke, springe ich doppelt so hoch.“

Modell: Die Spannenergie des Bretts wird vollständig in Lageenergie umgewandelt; die Sprunghöhe wird ab der Ruhelage des Bretts gemessen. Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).

  1. Ermitteln Sie, wie hoch Lina über die Ruhelage des Bretts springt.
  2. Vergleichen Sie Linas Sprunghöhe mit der ihres Trainers und erklären Sie das Ergebnis.
  3. Widerlegen Sie Linas Vermutung mit einer Rechnung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst die Spannenergie, dann \(h = E : (m \cdot g)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleicher Rechenweg für den Trainer. Vergleichen Sie, um welchen Faktor sich Energie und Masse jeweils ändern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie \(s = 0{,}80\ \text{m}\) ein und achten Sie auf das Quadrat in \(\tfrac12 D s^2\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E = \tfrac12 \cdot 4500\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}40\ \text{m})^2 = 2250 \cdot 0{,}16\ \text{J} = 360\ \text{J}\)

\(h = \dfrac{360\ \text{J}}{55\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}} = \dfrac{360}{539{,}55}\ \text{m} \approx 0{,}67\ \text{m}\)

Antwortsatz: Lina springt rund 0,67 m über die Ruhelage des Bretts.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Trainer: \(E = 2250 \cdot 0{,}50^2\ \text{J} = 562{,}5\ \text{J}\); \(h = \dfrac{562{,}5}{80 \cdot 9{,}81}\ \text{m} = \dfrac{562{,}5}{784{,}8}\ \text{m} \approx 0{,}72\ \text{m}\)

Der Trainer springt etwas höher (0,72 m statt 0,67 m), obwohl er schwerer ist. Grund: Seine Eindrücktiefe ist nur das 1,25-Fache, wegen des Quadrats ist seine Spannenergie aber das 1,5625-Fache. Seine Masse ist nur rund das 1,45-Fache — der Energiezuwachs überwiegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s = 0{,}80\ \text{m}\): \(E = 2250 \cdot 0{,}64\ \text{J} = 1440\ \text{J}\) — das Vierfache von 360 J.

\(h = \dfrac{1440}{539{,}55}\ \text{m} \approx 2{,}67\ \text{m}\) — das Vierfache von 0,67 m.

Damit ist die Vermutung widerlegt: Wegen \(E \sim s^2\) führt die doppelte Eindrücktiefe (im Modell) zur vierfachen, nicht zur doppelten Sprunghöhe. In der Praxis ließe sich das Brett so tief gar nicht herunterdrücken.