Ein Energiespeicher im alten Bergwerk
AFB I–IIIn einem stillgelegten Bergwerksschacht soll ein Stahlgewicht mit der Masse 50 t mit überschüssigem Windstrom 750 m nach oben gezogen werden. Wird später Strom gebraucht, sinkt das Gewicht langsam hinab und treibt über das Seil einen Generator an.
Beim Hochziehen gehen in Motor und Seilwinde 20 % der eingesetzten elektrischen Energie verloren. Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\) und \(1\ \text{kWh} = 3\,600\,000\ \text{J}\).
- Berechnen Sie die Lageenergie, die das Gewicht oben im Schacht gespeichert hat.
- Geben Sie diese Energie in Kilowattstunden an.
- Bestimmen Sie die elektrische Energie, die die Seilwinde beim Hochziehen aufnehmen muss.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E = 50\,000\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 750\ \text{m} = 367\,875\,000\ \text{J} \approx 3{,}7 \cdot 10^{8}\ \text{J}\)
Antwortsatz: Oben speichert das Gewicht rund 368 Millionen Joule.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(367\,875\,000\ \text{J} : 3\,600\,000\ \tfrac{\text{J}}{\text{kWh}} \approx 102\ \text{kWh}\)
Das sind rund 102 kWh — etwa so viel, wie ein Zwei-Personen-Haushalt in rund zwei Wochen verbraucht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(E_{\text{ein}} = 102{,}2\ \text{kWh} : 0{,}80 \approx 128\ \text{kWh}\)
Antwortsatz: Die Seilwinde muss rund 128 kWh elektrische Energie aufnehmen; etwa 26 kWh davon werden beim Hochziehen entwertet.
Ein neues Pumpspeicherkraftwerk?
AFB II–IIIFür ein geplantes Pumpspeicherkraftwerk soll ein Oberbecken mit 4,5 Millionen m³ Wasser gebaut werden (1 m³ Wasser hat die Masse 1000 kg). Die mittlere Fallhöhe bis zu den Turbinen beträgt 420 m.
Beim Hochpumpen gehen 20 % der eingesetzten elektrischen Energie verloren, beim Zurückfließen durch Turbine und Generator weitere 12 % der gespeicherten Lageenergie. Deutschland verbraucht an einem Tag etwa \(1{,}4 \cdot 10^{9}\ \text{kWh}\) elektrische Energie.
Eine Politikerin sagt: „Mit ein paar solcher Kraftwerke bringen wir ganz Deutschland durch eine windstille Woche.“
- Ermitteln Sie die Lageenergie, die das volle Oberbecken speichert, in Kilowattstunden.
- Werten Sie die Verlustangaben aus: Wie viel Energie muss beim Füllen hineingesteckt werden, wie viel kommt als Strom zurück, und welcher Anteil der eingesetzten Energie ist das?
- Bewerten Sie die Aussage der Politikerin.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m = 4{,}5 \cdot 10^{9}\ \text{kg}\); \(E = 4{,}5 \cdot 10^{9}\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 420\ \text{m} \approx 1{,}854 \cdot 10^{13}\ \text{J}\)
\(1{,}854 \cdot 10^{13}\ \text{J} : 3{,}6 \cdot 10^{6}\ \tfrac{\text{J}}{\text{kWh}} \approx 5{,}15 \cdot 10^{6}\ \text{kWh}\)
Antwortsatz: Das volle Oberbecken speichert rund 5,15 Millionen kWh.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Hineinstecken: \(5{,}15 \cdot 10^{6}\ \text{kWh} : 0{,}80 \approx 6{,}44 \cdot 10^{6}\ \text{kWh}\)
Zurück: \(0{,}88 \cdot 5{,}15 \cdot 10^{6}\ \text{kWh} \approx 4{,}53 \cdot 10^{6}\ \text{kWh}\)
Anteil: \(4{,}53 : 6{,}44 \approx 0{,}70\) (genauso: \(0{,}80 \cdot 0{,}88 = 0{,}704\))
Ergebnis: Von 6,44 Millionen eingesetzten kWh kommen 4,53 Millionen kWh zurück — rund 70 %. Etwa 30 % werden bei einem vollen Speicherzyklus entwertet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein Tag: \(1{,}4 \cdot 10^{9}\ \text{kWh} : 4{,}53 \cdot 10^{6}\ \text{kWh} \approx 309\) Kraftwerke; eine Woche: \(7 \cdot 309 \approx 2160\) Kraftwerke.
Bewertung (Beispiel): Die Aussage ist deutlich überzogen. Schon für einen einzigen windstillen Tag bräuchte man rund 300 Kraftwerke dieser Größe, für eine Woche über 2000 — dafür gibt es weder genügend geeignete Täler mit großen Höhenunterschieden, noch wäre der Eingriff in die Landschaft vertretbar. Hinzu kommen die 30 % Verluste.
Pumpspeicher sind trotzdem sinnvoll: Sie gleichen kurzfristige Schwankungen über Stunden aus, etwa zwischen Mittag und Abend. Für längere Flauten braucht es weitere Lösungen wie andere Speicher, Stromaustausch mit Nachbarländern oder flexible Kraftwerke. Vollständig ist die Antwort mit Anzahlrechnung, Bewertung nach mindestens zwei Kriterien und einem Fazit.