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Anwendung: Der freie Fall aus dem Fallturm

Zwei Sachaufgaben rund um den freien Fall — von der Fallhöhe bis zur Aufprallgeschwindigkeit.

1

Klippenspringen an der Steilküste

AFB I–II

Bei einem Wettbewerb springt ein Klippenspringer (Masse 70 kg) von einer Felsplattform, die 27 m über dem Meer liegt. Er lässt sich praktisch aus dem Stand fallen. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt; rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).

Die Plattform über dem Meer
h = 27 mStart: v ≈ 0Wasseroberfläche
Bezugshöhe ist die Wasseroberfläche — dort ist die Lageenergie null.
  1. Beschreiben Sie den Anfangs- und den Endzustand des Sprungs und die Energieumwandlung dazwischen.
  2. Berechnen Sie die Lageenergie des Springers auf der Plattform und seine Geschwindigkeit beim Eintauchen in m/s und km/h.
  3. Begründen Sie, dass ein 90 kg schwerer Springer von derselben Plattform genauso schnell eintaucht, obwohl er oben mehr Energie hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo ist der Springer, wie schnell ist er, wie hoch ist er — jeweils am Anfang und am Ende?
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst \(E = m \cdot g \cdot h\). Für die Geschwindigkeit \(m \cdot g \cdot h = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\) aufstellen, \(m\) kürzen, Wurzel ziehen. Für km/h mit 3,6 multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Schreiben Sie die Gleichung aus b) allgemein hin und achten Sie darauf, auf welchen Seiten die Masse steht.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Anfangszustand: Der Springer ist 27 m über dem Wasser und in Ruhe — er hat nur Lageenergie. Endzustand: Er taucht in Höhe 0 mit der größten Geschwindigkeit ein — er hat nur Bewegungsenergie. Während des Falls wird Lageenergie vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt; die Summe bleibt gleich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E_{\text{pot}} = 70\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 27\ \text{m} = 18\,540{,}9\ \text{J} \approx 18{,}5\ \text{kJ}\)

\(m \cdot g \cdot h = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 \ \Rightarrow\ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 27}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{529{,}74}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 23{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

\(23{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3{,}6 \approx 83\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)

Antwortsatz: Der Springer hat oben rund 18,5 kJ Lageenergie und taucht mit etwa 23 m/s bzw. 83 km/h ins Wasser ein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In \(m \cdot g \cdot h = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\) steht die Masse auf beiden Seiten und kürzt sich heraus: \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) hängt nur von \(g\) und \(h\) ab.

Der schwerere Springer hat zwar mehr Lageenergie (rund 23,8 kJ), muss aber auch eine größere Masse in Bewegung bringen. Beide Effekte heben sich genau auf — beide tauchen mit etwa 23 m/s ein (ohne Luftwiderstand).

2

Hagel aus der Gewitterwolke

AFB II–III

Ein Hagelkorn mit der Masse 20 g löst sich in 1500 m Höhe aus einer Gewitterwolke und fällt zu Boden. Messungen zeigen, dass solche Hagelkörner am Boden mit ungefähr 25 m/s ankommen.

Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\) und nehmen Sie an, dass das Hagelkorn in der Wolke aus der Ruhe startet.

  1. Bestimmen Sie die Aufprallgeschwindigkeit, die sich ohne Luftwiderstand ergäbe, in m/s und km/h.
  2. Ermitteln Sie, wie viel Prozent der anfänglichen Lageenergie am Boden tatsächlich als Bewegungsenergie ankommen und wie viel Prozent entwertet werden.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Beim Hagel gilt der Energieerhaltungssatz offensichtlich nicht.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Ansatz ist derselbe wie beim Klippenspringer: \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Masse in kg umrechnen. Lageenergie oben und Bewegungsenergie bei 25 m/s berechnen, dann den Anteil \(E_{\text{kin}} : E_{\text{pot}}\) bilden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Unter welcher Bedingung gilt \(E_{\text{pot}} = E_{\text{kin}}\)? Wohin ist die fehlende Energie gegangen? Ist sie verschwunden?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1500}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{29\,430}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 171{,}6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

\(171{,}6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3{,}6 \approx 618\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)

Antwortsatz: Ohne Luftwiderstand käme das Hagelkorn mit rund 172 m/s bzw. 618 km/h an — schneller als ein Rennflugzeug.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E_{\text{pot}} = 0{,}02\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 1500\ \text{m} = 294{,}3\ \text{J}\)

\(E_{\text{kin}} = \tfrac12 \cdot 0{,}02\ \text{kg} \cdot \left(25\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 6{,}25\ \text{J}\)

Anteil: \(6{,}25\ \text{J} : 294{,}3\ \text{J} \approx 0{,}021 = 2{,}1\ \%\); entwertet: \(100\ \% - 2{,}1\ \% = 97{,}9\ \%\)

Antwortsatz: Nur etwa 2 % der Lageenergie kommen als Bewegungsenergie an, rund 98 % werden unterwegs entwertet.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Urteil: Die Aussage ist falsch. Die einfache Gleichung \(E_{\text{pot}} = E_{\text{kin}}\) gilt nur, wenn keine Reibung auftritt. Beim Hagel wirkt ein großer Luftwiderstand; er wandelt fast die gesamte Lageenergie in innere Energie von Luft und Hagelkorn um.

Die Energie ist also nicht verschwunden, sondern entwertet: Die Summe aus Bewegungsenergie und innerer Energie ist genauso groß wie die Lageenergie am Anfang. Widerlegt wäre der Energieerhaltungssatz erst, wenn am Boden mehr Energie ankäme, als oben vorhanden war. Vollständig ist die Antwort, wenn die Gültigkeitsbedingung genannt, der Verbleib der Energie erklärt und ein klares Urteil formuliert wird.