Das Foucault-Pendel im Museum
AFB I–IIIm Treppenhaus eines Museums hängt eine Messingkugel mit der Masse 28 kg an einem 67 m langen Stahlseil. Zum Start wird die Kugel so weit zur Seite gezogen, dass sie 0,12 m über dem tiefsten Punkt ihrer Bahn liegt, und dann ohne Stoß losgelassen.
Reibung wird vernachlässigt; rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).
- Berechnen Sie die Lageenergie der Kugel beim Loslassen, bezogen auf den tiefsten Punkt der Bahn.
- Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Kugel im tiefsten Punkt.
- Begründen Sie, warum man für die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt weder die Masse der Kugel noch die Länge des Seils braucht.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h = 28\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 0{,}12\ \text{m} \approx 33{,}0\ \text{J}\)
Antwortsatz: Beim Loslassen hat die Kugel rund 33 J Lageenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m \cdot g \cdot h = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 \ \Rightarrow\ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}12}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{2{,}3544}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}53\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
Antwortsatz: Im tiefsten Punkt ist die Kugel rund 1,5 m/s schnell — etwa Schritttempo.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Masse steht in \(m g h = \tfrac12 m v^2\) auf beiden Seiten und kürzt sich heraus. In \(v = \sqrt{2 g h}\) kommen nur \(g\) und die Hubhöhe \(h\) vor.
Die Seillänge legt nur fest, wie weit man die Kugel seitlich ziehen muss, um sie 0,12 m anzuheben (und wie lange eine Schwingung dauert). Für die Energie zählt allein die Höhe über dem tiefsten Punkt.
Der Seilschwung am Baggersee
AFB II–IIIAm Baggersee hängt ein Seil an einem dicken Ast. Tom (62 kg) hält sich fest und startet aus dem Stand von einer Holzplattform. Der Startpunkt liegt 3,2 m über dem tiefsten Punkt der Schwungbahn; dieser liegt 1,5 m über der Wasseroberfläche. Auf der anderen Seite lässt Tom das Seil los, als er 1,8 m über dem tiefsten Punkt ist.
Sein Freund Can meint: „Wenn ich mit Anlauf abspringe, komme ich auf der anderen Seite sogar höher als die Plattform.“ Tom hält dagegen: „Unmöglich — das würde dem Energieerhaltungssatz widersprechen.“ Can schafft beim Anlauf 3 m/s. Rechnen Sie ohne Reibung und mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).
- Ermitteln Sie Toms Geschwindigkeit im tiefsten Punkt der Schwungbahn.
- Weisen Sie nach, dass Tom beim Loslassen noch etwa 5,2 m/s schnell ist.
- Nehmen Sie Stellung zum Streit zwischen Can und Tom.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 3{,}2}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{62{,}784}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
Antwortsatz: Im tiefsten Punkt ist Tom rund 7,9 m/s (etwa 29 km/h) schnell.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m g h_1 = \tfrac12 m v^2 + m g h_2 \ \Rightarrow\ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h_1 - h_2)}\)
\(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}4}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{27{,}468}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 5{,}24\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
Damit ist nachgewiesen: Beim Loslassen ist Tom noch etwa 5,2 m/s schnell.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Can: \(\tfrac12 m v_0^2 + m g h_0 = m g h_{\max} \ \Rightarrow\ h_{\max} = 3{,}2\ \text{m} + \dfrac{3^2}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} = 3{,}2\ \text{m} + 0{,}46\ \text{m} \approx 3{,}66\ \text{m}\)
Stellungnahme (Beispiel): Can hat recht — ohne Reibung käme er knapp einen halben Meter höher als die Plattform. Das widerspricht dem Energieerhaltungssatz nicht: Durch den Anlauf bringt Can zusätzlich Bewegungsenergie mit, die er selbst mit seinen Muskeln aufgebracht hat. Die Gesamtenergie ist größer als bei Tom, aber sie bleibt während des Schwungs erhalten.
Einschränkung: Mit Luftwiderstand und Reibung am Ast wird ein Teil entwertet; ob Can die Plattformhöhe wirklich übertrifft, ist knapp. Tom irrt, weil er annimmt, jeder Schwung starte aus der Ruhe. Vollständig ist die Antwort mit Rechnung, klarer Position und Bezug auf Anfangsenergie und Reibung.