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Anwendung: Bremsweg, Reibung und Energieentwertung

Zwei Sachaufgaben rund um Reibungswärme beim Bremsen — Energie, die sich nicht mehr zurückholen lässt.

1

Notbremsung mit dem E-Scooter

AFB I–II

Jonas fährt mit seinem E-Scooter mit 20 km/h durch die Stadt. Er und der Scooter haben zusammen die Masse 95 kg. Als plötzlich eine Tür aufgeht, macht er eine Vollbremsung; die bremsende Reibungskraft beträgt dabei 450 N.

  1. Beschreiben Sie, welche Energieumwandlung beim Bremsen stattfindet und wo die Energie danach steckt.
  2. Berechnen Sie die Bewegungsenergie von Jonas und seinem Scooter zu Beginn der Bremsung.
  3. Bestimmen Sie die Länge des Bremswegs.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Am Anfang fährt Jonas, am Ende steht er. Welche Teile werden beim Bremsen warm?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zuerst km/h in m/s umrechnen (durch 3,6 teilen), dann \(E = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Die gesamte Bewegungsenergie wird durch die Reibungskraft aufgezehrt: \(\tfrac12 m v^2 = F \cdot s \Rightarrow s = E : F\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Bewegungsenergie von Jonas und Scooter wird durch die Reibung in innere Energie umgewandelt: Bremsscheibe bzw. Bremsbelag, Reifen und Fahrbahn werden etwas wärmer. Diese Energie ist entwertet und kann nicht mehr zum Fahren genutzt werden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v = 20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}} : 3{,}6 \approx 5{,}56\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

\(E = \tfrac12 \cdot 95\ \text{kg} \cdot \left(5{,}56\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \approx 1466\ \text{J}\)

Antwortsatz: Zu Beginn der Bremsung beträgt die Bewegungsenergie rund 1470 J.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s = \dfrac{E}{F} = \dfrac{1466\ \text{J}}{450\ \text{N}} \approx 3{,}3\ \text{m}\)

Antwortsatz: Der Bremsweg beträgt rund 3,3 m. Hinzu käme noch der Reaktionsweg, bevor Jonas überhaupt bremst.

2

Die Notfallspur für Lastwagen

AFB II–III

Auf einer langen Gefällestrecke im Gebirge versagen bei einem Lkw mit der Masse 30 t die Bremsen. Der Fahrer lenkt ihn mit 72 km/h in eine Notfallspur: ein Bett aus lockerem Kies, in dem die Räder tief einsinken. Der Kies bremst den Lkw mit einer mittleren Kraft von 150 000 N. Das Kiesbett ist 45 m lang.

Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\) und vernachlässigen Sie den Luftwiderstand.

Notfallspur mit ansteigendem Kiesbett
Gefälle, v = 72 km/hKiesbett4 mEinfahrtStillstand
Variante aus Teilaufgabe b): Das Kiesbett steigt an, der Lkw steht am Ende 4 m höher als an der Einfahrt.
  1. Ermitteln Sie den Bremsweg des Lkw in einem waagerechten Kiesbett.
  2. Zeigen Sie, dass sich der Bremsweg auf etwa 32 m verkürzt, wenn das Kiesbett ansteigt und der Lkw am Ende 4 m höher steht als an der Einfahrt.
  3. Beurteilen Sie, ob das waagerechte 45-m-Kiesbett auch einen voll beladenen Lkw mit 40 t bei 72 km/h sicher stoppt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
72 km/h in m/s umrechnen, \(E_{\text{kin}}\) berechnen, dann \(s = E : F\). 30 t = 30 000 kg.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Teil der Bewegungsenergie wird jetzt zu Lageenergie: \(\tfrac12 m v^2 = m g h + F \cdot s\). Nur der Rest muss vom Kies aufgezehrt werden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Bleibt die Bremskraft des Kieses gleich, oder wird sie mit der Masse größer? Rechnen Sie beide Fälle durch. Wie viel Sicherheitsreserve braucht eine Notfallspur?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(v = 72 : 3{,}6 = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\); \(E = \tfrac12 \cdot 30\,000\ \text{kg} \cdot \left(20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 6\,000\,000\ \text{J}\)

\(s = \dfrac{6\,000\,000\ \text{J}}{150\,000\ \text{N}} = 40\ \text{m}\)

Antwortsatz: Im waagerechten Kiesbett kommt der Lkw nach 40 m zum Stehen — 5 m vor dem Ende.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Lageenergie am Ende: \(E_{\text{pot}} = 30\,000\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 4\ \text{m} = 1\,177\,200\ \text{J}\)

Für den Kies bleibt: \(6\,000\,000\ \text{J} - 1\,177\,200\ \text{J} = 4\,822\,800\ \text{J}\)

\(s = \dfrac{4\,822\,800\ \text{J}}{150\,000\ \text{N}} \approx 32{,}2\ \text{m}\) — damit ist gezeigt, dass der Bremsweg auf etwa 32 m sinkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bewegungsenergie mit 40 t: \(E = \tfrac12 \cdot 40\,000 \cdot 20^2\ \text{J} = 8\,000\,000\ \text{J}\)

Fall 1 — Bremskraft bleibt 150 000 N: \(s = 8\,000\,000 : 150\,000 \approx 53{,}3\ \text{m}\) > 45 m, der Lkw würde über das Ende hinausschießen.

Fall 2 — Bremskraft wächst mit der Masse auf 200 000 N (die Räder sinken tiefer ein): \(s = 8\,000\,000 : 200\,000 = 40\ \text{m}\), der Lkw steht rechtzeitig.

Urteil (Beispiel): Sicher ist das Bett für 40 t nicht — ob es reicht, hängt davon ab, wie stark der Kies einen schwereren Lkw bremst, und die Reserve ist in keinem Fall groß. Eine Notfallspur muss für den ungünstigsten Fall ausgelegt sein; deshalb sollte das Bett länger gebaut werden oder ansteigen, wie Teilaufgabe b) zeigt. Vollständig ist die Antwort mit beiden Rechenfällen und einem begründeten Urteil.