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Anwendung: Die Achterbahn

Zwei Sachaufgaben zu Seifenkiste und Sommerrodelbahn — entscheidend ist immer die Höhendifferenz.

1

Das Seifenkistenrennen

AFB I–II

Beim Seifenkistenrennen im Dorf startet Emma mit ihrer Kiste (zusammen 85 kg) aus dem Stand am Start, der 14 m über dem Fuß des Hangs liegt. Die Strecke führt zuerst hinab in eine Senke in 2 m Höhe und danach über eine Kuppe in 8 m Höhe. Einen Motor gibt es nicht.

Reibung und Luftwiderstand werden vernachlässigt; rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\).

Streckenprofil
Start: 14 m, v = 0Senke: 2 mKuppe: 8 mBezugshöhe 0 m
Alle Höhen sind vom Fuß des Hangs aus gemessen. Für die Geschwindigkeit zählt aber nur die Höhendifferenz zum Start.
  1. Geben Sie die Höhendifferenz zwischen Start und Senke sowie zwischen Start und Kuppe an.
  2. Berechnen Sie Emmas Geschwindigkeit in der Senke.
  3. Bestimmen Sie ihre Geschwindigkeit oben auf der Kuppe.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Höhe am Start minus Höhe an der gefragten Stelle.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nur die Lageenergie, die zur Höhendifferenz gehört, ist zu Bewegungsenergie geworden: \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot \Delta h}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gleiches Vorgehen wie in b), nur mit der Höhendifferenz zur Kuppe — nicht mit 8 m und nicht mit 14 m.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Start – Senke: \(\Delta h = 14\ \text{m} - 2\ \text{m} = 12\ \text{m}\)

Start – Kuppe: \(\Delta h = 14\ \text{m} - 8\ \text{m} = 6\ \text{m}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(m \cdot g \cdot \Delta h = \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 \ \Rightarrow\ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot \Delta h}\)

\(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 12}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{235{,}44}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 15{,}3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 55\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)

Antwortsatz: In der Senke fährt Emma rund 15,3 m/s, also etwa 55 km/h. Die 85 kg werden nicht gebraucht, weil sich die Masse kürzt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 6}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{117{,}72}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 10{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 39\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)

Antwortsatz: Auf der Kuppe ist Emma noch rund 10,8 m/s bzw. 39 km/h schnell — sie kommt also problemlos darüber.

2

Die Sommerrodelbahn

AFB II–III

Auf einer Sommerrodelbahn fahren Schlitten auf Schienen den Berg hinab. Leon (mit Schlitten 90 kg) fährt mit 4,0 m/s über eine Kuppe, die 25 m über der Talstation liegt. Danach geht es hinab zum tiefsten Punkt der Strecke, 3 m über der Talstation. Anschließend steigt die Strecke zu einem Aussichtshügel in 26 m Höhe an, über den die Schlitten von einem Seilzug gezogen werden.

An der Bahn hängt ein Schild: „Höchstgeschwindigkeit ohne Bremsen: unter 80 km/h.“ Eine Radarmessung ergibt bei Leon am tiefsten Punkt 15 m/s. Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\); wo nichts anderes gesagt wird, ohne Reibung.

  1. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, die Leon ohne Reibung am tiefsten Punkt hätte.
  2. Untersuchen Sie, ob Leon ohne Reibung und ohne Seilzug über den Aussichtshügel käme.
  3. Überprüfen Sie die Angabe auf dem Schild. Beziehen Sie dabei auch die Radarmessung ein.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Diesmal hat Leon am Anfang beide Energieformen: \(\tfrac12 m v_1^2 + m g h_1 = \tfrac12 m v_2^2 + m g h_2\). Kürzen Sie \(m\) und stellen Sie nach \(v_2\) um.
Hinweis zu Aufgabe b)
Berechnen Sie, wie hoch Leon mit seiner gesamten Energie höchstens kommen könnte, und vergleichen Sie mit 26 m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie 80 km/h in m/s um. Prüfen Sie: Hängt die Höchstgeschwindigkeit von der Geschwindigkeit auf der Kuppe ab? Bestimmen Sie außerdem den entwerteten Anteil bei der Radarmessung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tfrac12 v_2^2 = \tfrac12 v_1^2 + g \cdot (h_1 - h_2) \ \Rightarrow\ v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \Delta h}\)

\(v_2 = \sqrt{4{,}0^2 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 22}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{16 + 431{,}64}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{447{,}64}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 21{,}2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

Antwortsatz: Ohne Reibung wäre Leon am tiefsten Punkt rund 21,2 m/s bzw. 76 km/h schnell.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Höchste erreichbare Höhe (dort \(v = 0\)): \(h_{\max} = h_1 + \dfrac{v_1^2}{2 g} = 25\ \text{m} + \dfrac{16}{19{,}62}\ \text{m} \approx 25{,}8\ \text{m}\)

Antwortsatz: Leon käme selbst ohne Reibung nur bis etwa 25,8 m Höhe — knapp 20 cm zu wenig für den 26 m hohen Hügel. Der Seilzug ist also nötig, mit Reibung erst recht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}} : 3{,}6 \approx 22{,}2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Leons reibungsfreier Wert 21,2 m/s liegt darunter.

Aber: Das Ergebnis hängt von der Geschwindigkeit auf der Kuppe ab. Mit z. B. 8 m/s wäre \(v_2 = \sqrt{64 + 431{,}64}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 22{,}3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) — ohne Reibung wäre die Grenze dann erreicht.

Messung: Energie je Kilogramm oben \(\tfrac12 \cdot 4^2 + 9{,}81 \cdot 22 = 223{,}8\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}}\), unten \(\tfrac12 \cdot 15^2 = 112{,}5\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}}\); entwertet werden also rund 50 %.

Ergebnis: Die Angabe ist für normale Fahrten richtig, weil durch Reibung etwa die Hälfte der Energie entwertet wird (gemessen 15 m/s = 54 km/h). Als physikalische Garantie ohne Reibung gilt sie nur, solange die Schlitten die Kuppe langsamer als etwa 8 m/s überfahren. Vollständig ist die Antwort mit Umrechnung, Vergleich, Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und Auswertung der Messung.