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Hookesches Gesetz

Zwei Sachaufgaben zum Hookeschen Gesetz — mit dem Formeldreieck von der Dehnung zur Kraft und wieder zurück.

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Federwaage im Angelladen

AFB I–II

In einem Angelladen hängt eine Federwaage neben der Theke. An ihrem Haken hängt ein Netz mit Fischen und zieht mit einer Kraft von 24 N nach unten. Die Feder der Waage ist dabei um 6,0 cm länger als ohne Last. Aus dem Versuch im Physikunterricht ist bekannt, dass Kraft und Dehnung einer Feder proportional zueinander sind, solange die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird.

  1. Geben Sie das hookesche Gesetz als Formel an und dazu die Einheiten der drei darin vorkommenden Größen.
  2. Bestimmen Sie die Federkonstante der Waagenfeder.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Formel verknüpft drei Größen. Überlegen Sie für jede einzeln, in welcher Einheit sie gemessen wird — bei der Federkonstante ist es eine Kraft je Länge.Angeben heißt aufzählen ohne Erläuterung: Die Formel und die drei Einheiten genügen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht ist die Federkonstante, gegeben sind Kraft und Dehnung. Stellen Sie das hookesche Gesetz zuerst nach D um und setzen Sie erst dann die Zahlen mit ihren Einheiten ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das hookesche Gesetz lautet \( F = D \cdot s \). Dabei ist F die Kraft in Newton (N), s die Dehnung der Feder in Zentimetern (cm) und D die Federkonstante in Newton je Zentimeter, also in \( \frac{\text{N}}{\text{cm}} \); die Angabe in \( \frac{\text{N}}{\text{m}} \) ist ebenso richtig. Antwortsatz: Die Kraft ist das Produkt aus Federkonstante und Dehnung, wobei F in N, s in cm und D in N/cm angegeben wird. Als vollständige Antwort gelten die Formel und die drei Einheiten ohne weitere Erläuterung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Umstellen des hookeschen Gesetzes nach der Federkonstante, \( D = \frac{F}{s} \). Rechnung: \( D = \frac{24\,\text{N}}{6{,}0\,\text{cm}} = 4{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \). Ergebnis: 4,0 N/cm. Antwortsatz: Die Feder der Waage hat eine Federkonstante von 4,0 N/cm. Kontrolle: 4,0 N/cm · 6,0 cm ergibt wieder 24 N.

2

Gepäckwaage für den Flughafen

AFB II–III

Eine Gepäckwaage für Reisen besteht aus einem Griff, einem Gehäuse von 18 cm Länge und einer Zugfeder mit Haken. Die unbelastete Feder ist 9,0 cm lang. Bei einer Zugkraft von 50 N dehnt sie sich um 2,0 cm. Ihre Elastizitätsgrenze ist bei einer Dehnung von 12 cm erreicht. Die aufgedruckte Skala reicht bis 300 N. Ein Koffer mit der Masse 20 kg wird an den Haken gehängt; auf der Erde gilt der Ortsfaktor g = 9,81 N/kg.

  1. Ermitteln Sie die Federkonstante der eingebauten Feder.
  2. Zeigen Sie, dass die Feder mit dem 20-kg-Koffer unter ihrer Elastizitätsgrenze bleibt.
  3. Beurteilen Sie, ob die aufgedruckte Skala sinnvoll bis 300 N reicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Von den vielen Angaben brauchen Sie nur ein einziges Wertepaar aus Kraft und Dehnung. Prüfen Sie zuerst, welche zwei Zahlen zusammengehören.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Schritte: erst die Gewichtskraft des Koffers aus Masse und Ortsfaktor, dann die dazu gehörende Dehnung der Feder. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem angegebenen Grenzwert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Urteilen Sie nach zwei Kriterien: der Dehnung bei 300 N im Vergleich zur Elastizitätsgrenze und dem Platz, den die gedehnte Feder im 18 cm langen Gehäuse überhaupt hat. Formulieren Sie am Ende ein klares Urteil mit Begründung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \( D = \frac{F}{s} \) mit dem Wertepaar 50 N und 2,0 cm. Rechnung: \( D = \frac{50\,\text{N}}{2{,}0\,\text{cm}} = 25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \). Ergebnis: 25 N/cm. Antwortsatz: Die eingebaute Feder hat eine Federkonstante von 25 N/cm. Die Angaben zur Gehäuselänge, zur Federlänge und zur Skala werden dafür nicht gebraucht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: zuerst die Gewichtskraft \( F = m \cdot g \), dann die Dehnung \( s = \frac{F}{D} \). Rechnung: \( F = 20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 196{,}2\,\text{N} \) und \( s = \frac{196{,}2\,\text{N}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} \approx 7{,}8\,\text{cm} \). Ergebnis: rund 7,8 cm, die Elastizitätsgrenze liegt bei 12 cm. Antwortsatz: Der Koffer dehnt die Feder um etwa 7,8 cm und bleibt damit deutlich unter der Elastizitätsgrenze von 12 cm — die Waage zeigt hier richtig an. Damit ist die Behauptung gezeigt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kriterium 1 — Elastizitätsgrenze: Bei 300 N ergibt sich \( s = \frac{300\,\text{N}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 12\,\text{cm} \), also genau die Elastizitätsgrenze. Ein Reservebereich fehlt: Schon eine kleine Überlastung verformt die Feder dauerhaft, danach zeigt die Waage für immer falsch an. Kriterium 2 — Platz im Gehäuse: Die unbelastete Feder ist 9,0 cm lang, das Gehäuse 18 cm; für die Dehnung bleiben also höchstens 9,0 cm. Das entspricht einer Kraft von \( 25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot 9{,}0\,\text{cm} = 225\,\text{N} \). Urteil: Die Skala bis 300 N ist nicht sinnvoll. Ab etwa 225 N stößt die Feder im Gehäuse an, und der oberste Skalenbereich liegt genau an der Elastizitätsgrenze, also ohne jede Sicherheit; eine Skala bis etwa 200 N wäre angemessen. Als vollständige Antwort gilt ein begründetes Urteil, das mindestens eines der beiden Kriterien mit einer Rechnung belegt — ein Urteil ohne Zahlen genügt nicht.