Geschwister auf der Wippe
AFB I–IIAuf dem Spielplatz wippen Jonas und seine kleine Schwester Emma. Der Balken ist 4,0 m lang und liegt genau in seiner Mitte auf dem Drehpunkt, sodass er auf jeder Seite 2,0 m weit reicht. Jonas hat eine Gewichtskraft von 450 N und sitzt 0,60 m vom Drehpunkt entfernt. Emma drückt mit einer Gewichtskraft von 270 N auf den Balken.
- Nennen Sie die beiden Größen, die an einer Wippe zusammen über das Gleichgewicht entscheiden, und nennen Sie ihre Werte für Jonas.
- Bestimmen Sie den Abstand vom Drehpunkt, in dem Emma sitzen muss, damit der Balken waagerecht steht.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: Nach dem Merksatz entscheiden an der Wippe die Kraft und ihr Abstand zum Drehpunkt gemeinsam über das Gleichgewicht. Die beiden Größen sind also die Kraft F, mit der eine Last auf den Balken drückt, und der Kraftarm l, das ist der Abstand vom Drehpunkt bis zu dieser Kraft. Werte für Jonas: F = 450 N und l = 0,60 m. Antwortsatz: Über das Gleichgewicht der Wippe entscheiden Kraft und Kraftarm zusammen; für Jonas betragen sie 450 N und 0,60 m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: Der Balken steht waagerecht, wenn Kraft mal Abstand auf beiden Seiten gleich groß ist. Jonas’ Seite: \(450\,\text{N} \cdot 0{,}60\,\text{m} = 270\,\text{N}\cdot\text{m}\). Emmas Seite muss denselben Wert ergeben: \(270\,\text{N} \cdot l = 270\,\text{N}\cdot\text{m}\), also \(l = 270\,\text{N}\cdot\text{m} : 270\,\text{N} = 1{,}0\,\text{m}\). Ergebnis: 1,0 m. Antwortsatz: Emma muss 1,0 m vom Drehpunkt entfernt sitzen; weil der Balken auf ihrer Seite 2,0 m weit reicht, findet sie diesen Platz noch auf dem Balken.
Umbau der Wippe im Kindergarten
AFB II–IIIIm Kindergarten Sonnenblume wird die Wippe erneuert. Der neue Balken ist 3,0 m lang und 24 cm breit; er liegt genau in seiner Mitte auf dem Drehpunkt und darf insgesamt mit höchstens 1500 N belastet werden. Zur Probe setzt sich Erzieherin Frau Oltmanns mit einer Gewichtskraft von 600 N auf ein Balkenende, also 1,5 m vom Drehpunkt entfernt. Ganz außen auf der anderen Seite sitzt Nele, ebenfalls 1,5 m vom Drehpunkt entfernt, mit einer Gewichtskraft von 200 N. Nele ist fünf Jahre alt und 1,10 m groß, und unter der Wippe liegt eine 12 cm dicke Fallschutzmatte. Damit Nele allein mit Frau Oltmanns wippen kann, werden zwei Varianten vorgeschlagen: Bei Variante A rutscht Frau Oltmanns so weit an den Drehpunkt heran, dass der Balken waagerecht steht. Bei Variante B bleibt sie am Balkenende sitzen, und Nele bekommt einen Rucksack mit Sandsäcken, bis ihre Gewichtskraft 600 N beträgt.
- Erklären Sie, warum der Balken bei der Probe nicht waagerecht steht und zu welcher Seite er sich senkt.
- Ermitteln Sie den Abstand vom Drehpunkt, in dem Frau Oltmanns sitzen müsste, damit der Balken bei unveränderter Sitzposition von Nele waagerecht steht.
- Entscheiden Sie sich begründet für eine der beiden Varianten A und B und geben Sie diese eindeutig an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: Der Balken steht waagerecht, wenn Kraft mal Abstand auf beiden Seiten gleich groß ist. Frau Oltmanns: \(600\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 900\,\text{N}\cdot\text{m}\). Nele: \(200\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 300\,\text{N}\cdot\text{m}\). Beide sitzen ganz außen, ihre Kraftarme sind also gleich lang; damit entscheidet allein die Kraft, und die ist bei Frau Oltmanns dreimal so groß. Nicht gebraucht werden die Breite von 24 cm, die Belastungsgrenze, Neles Alter und Körpergröße sowie die Dicke der Matte. Antwortsatz: Weil auf Frau Oltmanns’ Seite Kraft mal Abstand mit 900 N·m dreimal so groß ist wie Neles 300 N·m, senkt sich der Balken auf ihrer Seite und steht nicht waagerecht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: Neles Wert bleibt unverändert und muss auf der anderen Seite genauso erreicht werden. Nele: \(200\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 300\,\text{N}\cdot\text{m}\). Gesucht ist der Kraftarm l mit \(600\,\text{N} \cdot l = 300\,\text{N}\cdot\text{m}\), also \(l = 300\,\text{N}\cdot\text{m} : 600\,\text{N} = 0{,}50\,\text{m}\). Ergebnis: 0,50 m. Antwortsatz: Frau Oltmanns müsste 0,50 m vom Drehpunkt entfernt sitzen — sie ist dreimal so schwer wie Nele und braucht deshalb nur ein Drittel von deren Kraftarm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kriterien: (1) Stellt die Variante das Gleichgewicht her? (2) Bleibt die Belastungsgrenze von 1500 N eingehalten? (3) Ist die Variante für ein fünfjähriges Kind zumutbar und sicher? Variante A (mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b): \(600\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m} = 300\,\text{N}\cdot\text{m}\) gegen \(200\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 300\,\text{N}\cdot\text{m}\) — der Balken steht waagerecht; die Gesamtlast beträgt 600 N + 200 N = 800 N und liegt deutlich unter 1500 N. Variante B: \(600\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 900\,\text{N}\cdot\text{m}\) auf beiden Seiten — der Balken steht ebenfalls waagerecht; die Gesamtlast beträgt 600 N + 600 N = 1200 N und bleibt noch unter 1500 N, doch Nele müsste zusätzliche 400 N tragen, mit der Näherung 10 N/kg also rund 40 kg Sandsäcke. Festlegung: Variante A. Beide Varianten wirken physikalisch, aber nur A ist gefahrlos umsetzbar, weil sie allein den Kraftarm verändert und Nele nichts abverlangt; B belastet ein fünfjähriges Kind mit dem Dreifachen seiner eigenen Gewichtskraft und ist deshalb abzulehnen. Als vollständig gilt eine Antwort, die für beide Varianten das Gleichgewicht nachrechnet, mindestens ein weiteres Kriterium heranzieht und sich eindeutig auf eine Variante festlegt.