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Vektoren im Koordinatensystem

Zehn Übungen zu den Komponenten eines Kraftpfeils und zu dem Betrag, der sich aus ihnen ergibt.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Komponenten und Betrag eines Kraftpfeils
AFB I

Ein Kraftpfeil beginnt im Ursprung eines Koordinatensystems. Welche Aussagen über seine Komponenten Fx und Fy und über seinen Betrag stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Betrag ist nicht Fx + Fy, sondern die Wurzel aus der Summe der Quadrate: aus 3,0 N und 4,0 N werden 5,0 N und nicht 7,0 N. Ein Minuszeichen macht eine Kraft auch nicht „kleiner als null“, sondern dreht nur ihre Richtung. Und gleicher Betrag heißt noch nicht gleiche Komponenten — Fx = 3,0 N mit Fy = 4,0 N und Fx = 0 N mit Fy = 5,0 N sind beide 5,0 N lang.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um das Ablesen der Komponenten und den Betrag einer Kraft.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Die Vorzeichen beschreiben die Richtung, der Betrag beschreibt die Länge. Deshalb darf eine Komponente negativ sein, der Betrag aber niemals.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Legt man einen Kraftpfeil in ein Koordinatensystem, so beschreiben der waagerechte Anteil Fx und der senkrechte Anteil Fy seine Richtung; beide zusammen heißen die der Kraft. Ob die Kraft nach rechts oder nach links wirkt, erkennt man am von Fx. Aus Fx und Fy erhält man mit dem Satz des die Länge des Pfeils, also den der Kraft. Eine Größe mit Betrag und Richtung nennt man einen .

Der Ortsfaktor bleibt übrig: er verknüpft Masse und Gewichtskraft und sagt nichts darüber, wohin ein Kraftpfeil zeigt oder wie lang er ist.
A4
Gleicher Betrag, verschiedene Richtung
AFB I

Sortiere jedes Komponentenpaar in den Korb mit dem passenden Betrag der Kraft.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Betrag 5,0 N
2Betrag 10 N
3Betrag 13 N
Typischer Fehler ist, die beiden Zahlen einfach zu addieren. Sortiert wird nach der Wurzel aus der Summe der Quadrate — deshalb liegen 3,0 N mit 4,0 N, −4,0 N mit 3,0 N und 0 N mit −5,0 N im selben Korb, obwohl ihre Pfeile in ganz verschiedene Richtungen zeigen.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Eine Kraft hat die Komponenten Fx = 9,0 N und Fy = 12 N. Wie groß ist ihr Betrag?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Rechenweg: 9,0² + 12² = 81 + 144 = 225, und die Wurzel aus 225 ist 15. Häufiger Fehler ist 9,0 N + 12 N = 21 N. Trick: 9 und 12 sind das Dreifache von 3 und 4, also ist der Betrag dreimal 5,0 N.
A6
Vom Pfeil zum Betrag
AFB II

Bringe die Schritte in die Reihenfolge, in der man den Betrag einer Kraft aus einer Zeichnung gewinnt.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Den Pfeilanfang in den Ursprung des Koordinatensystems legen.
2Von der Pfeilspitze senkrecht nach unten gehen und Fx an der waagerechten Achse ablesen.
3Von der Pfeilspitze waagerecht nach links gehen und Fy an der senkrechten Achse ablesen.
4Beide Komponenten quadrieren und die Quadrate addieren.
5Aus der Summe die Wurzel ziehen und das Ergebnis mit der Einheit N angeben.
Am häufigsten wird der letzte Schritt vorgezogen: Wer die Komponenten zuerst addiert oder aus jeder einzeln die Wurzel zieht, landet bei 7,0 N statt bei 5,0 N. Die Wurzel kommt immer erst, wenn beide Quadrate schon addiert sind.
A7
Rechenkette
AFB II

Eine Kraft greift im Ursprung an. Ihre Pfeilspitze liegt bei Fx = 8,0 N und Fy = 6,0 N.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist Fx²? N²
  2. Wie groß ist Fy²? N²
  3. Wie groß ist der Betrag F dieser Kraft? N
  4. Eine zweite Kraft hat Fx = −6,0 N und Fy = 8,0 N. Wie groß ist ihr Betrag? N
Die Kette zeigt zwei Dinge: Die Wurzel kommt erst nach dem Addieren der Quadrate, und beim Quadrieren fallen die Vorzeichen weg. Deshalb hat die zweite Kraft genau denselben Betrag wie die erste, obwohl ihr Pfeil in eine andere Richtung zeigt.
A8
Komponenten und Wirkung verbinden
AFB II

Verbinde jedes Komponentenpaar mit der Beschreibung, die zu ihm gehört.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Schneller geht es, wenn du zuerst nur die beiden Vorzeichen anschaust — sie legen die Richtung fest, noch bevor gerechnet wird. Typischer Fehler ist, allein nach dem Betrag zu gehen: die ersten drei Paare sind alle 5,0 N lang und zeigen doch in drei verschiedene Richtungen.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klassenarbeiten kostet Zeile 6 am häufigsten Punkte: Komponenten werden addiert statt quadriert. Merke dir 14 N als Warnzahl — der Betrag ist immer kleiner als die Summe der Komponenten, sobald beide von null verschieden sind.
A10
Was macht der Betrag?
AFB III

Eine Kraft hat die Komponenten Fx = 3,0 N und Fy = 4,0 N, ihr Betrag ist also 5,0 N. In jeder Zeile werden die Komponenten verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt, 4 = verdreifacht, 5 = vervierfacht. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert5 = vervierfacht
Beide Komponenten werden verdoppelt: Fx = 6,0 N und Fy = 8,0 N.
Fx wächst auf 12 N und Fy auf 16 N.
Die beiden Komponenten werden getauscht: Fx = 4,0 N und Fy = 3,0 N.
Beide Komponenten werden halbiert: Fx = 1,5 N und Fy = 2,0 N.
Beide Komponenten wechseln das Vorzeichen und werden dreimal so lang: Fx = −9,0 N und Fy = −12 N.
Werden beide Komponenten mit derselben Zahl multipliziert, so wird auch der Betrag mit dieser Zahl multipliziert — die Wurzel zieht den Faktor einfach heraus. Ein Vorzeichenwechsel und ein Tausch der beiden Zahlen ändern dagegen nur die Richtung. Typischer Fehler ist, für jede Zeile neu Pythagoras zu rechnen: Überlegen ist hier deutlich schneller.