Übung — AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren)

Musterlösung: Lena verwechselt Masse und Gewichtskraft. Der Federkraftmesser zeigt eine Kraft in Newton an, also die Gewichtskraft, und für die gilt F_G = m · g. Setzt man ein, so ergibt sich auf der Erde 60 kg · 9,81 N/kg ≈ 589 N und auf dem Mond 60 kg · 1,6 N/kg = 96 N: In beiden Rechnungen steht dieselbe Masse von 60 kg, geändert hat sich nur der Ortsfaktor g. Die Masse ist ein Maß für die Stoffmenge und deshalb ortsunabhängig — die Astronautin besteht auf dem Mond aus genau demselben Stoff wie vorher. Überprüfen ließe sich das mit einer Balkenwaage: Sie vergleicht die unbekannte Masse mit Wägestücken, und weil der Ortsfaktor auf beide Waagschalen gleich wirkt, zeigt sie auf dem Mond dasselbe Ergebnis wie auf der Erde. Der typische Fehler ist, das Alltagswort „Gewicht“ für beide Größen zu benutzen und die Anzeige eines Kraftmessers dann für eine Masse zu halten.

Musterlösung: Mia hat recht. Beide von Jan genannten Kräfte greifen am Buch an: Die Erde zieht es mit F_G = 0,5 kg · 9,81 N/kg ≈ 4,9 N nach unten, und der Tisch drückt es mit ebenso großer Kraft nach oben. Weil beide Kräfte am selben Körper wirken und sich zu F_res = 0 ergänzen, liegt ein Kräftegleichgewicht vor; nach dem Trägheitsprinzip bleibt das Buch deshalb in Ruhe. Ein Wechselwirkungspaar verteilt sich dagegen immer auf zwei verschiedene Körper: Der Partner der Gewichtskraft „Erde zieht Buch“ ist die Kraft „Buch zieht Erde“, und der Partner von „Tisch drückt Buch“ ist „Buch drückt auf den Tisch“. Der typische Fehler ist, jedes Paar gleich großer, entgegengesetzter Kräfte zum Wechselwirkungspaar zu erklären — entscheidend ist nicht der Betrag, sondern die Frage, an wie vielen Körpern die Kräfte angreifen.

Musterlösung: Die Angabe stimmt nur für kleine Kräfte. Bis 8 N liefert der Quotient D = F : s jedes Mal denselben Wert von 2 N/cm, nämlich 2 N : 1,0 cm, 4 N : 2,0 cm, 6 N : 3,0 cm und 8 N : 4,0 cm; die Messpunkte liegen also auf einer Ursprungsgeraden, und das hookesche Gesetz F = D · s gilt. Ab 10 N bricht das zusammen, denn 10 N : 6,5 cm ergibt nur noch etwa 1,5 N/cm und 12 N : 10,0 cm sogar nur 1,2 N/cm. Die Feder ist über ihre Elastizitätsgrenze hinaus belastet worden und verformt sich plastisch: Sie kehrt nach dem Entlasten nicht mehr in ihre Ruhelänge zurück, und damit ist auch die Skala eines solchen Kraftmessers anschließend unbrauchbar. Die Vorhersage des Herstellers widerlegt die Messreihe unmittelbar, denn 10 cm Dehnung werden bereits bei 12 N erreicht und nicht erst bei 20 N. Der typische Fehler ist, F = D · s auf jede beliebige Kraft anzuwenden — die Formel gilt nur bis zur Elastizitätsgrenze, und genau deshalb ist bei jedem Federkraftmesser ein Messbereich angegeben.

Musterlösung: Die Angabe zur Kraft ist richtig, die Angabe zur Zeit ist falsch. Bei vier tragenden Seilstücken gilt F = F_G : n = 800 N : 4 = 200 N, man zieht also tatsächlich nur mit einem Viertel der Kraft. Dafür muss das Seil um den vierfachen Weg eingeholt werden, nämlich 4 · 1,5 m = 6 m statt 1,5 m. Nach der Goldenen Regel der Mechanik bleibt das Produkt aus Kraft und Weg erhalten, denn 800 N · 1,5 m ergibt genauso viel wie 200 N · 6 m; wer mit derselben Geschwindigkeit zieht, braucht deshalb viermal so lange und ist gerade nicht viermal schneller fertig. Dasselbe Muster gilt für jeden Kraftwandler: Die lose Rolle halbiert die Kraft und verdoppelt den Weg, und an der schiefen Ebene liefert F = F_G · h : l mit h = 1,5 m und l = 6 m ebenfalls 200 N. Der typische Fehler ist die Vorstellung, ein Kraftwandler spare Arbeit — er ändert nur den Betrag oder die Richtung der Kraft, und was man an Kraft gewinnt, gibt man am Weg wieder ab.

Musterlösung: Ben hat recht. Die beiden Kräfte stehen senkrecht aufeinander, ihre Pfeile spannen ein Rechteck auf, und die resultierende Kraft ist dessen Diagonale. Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Wurzel aus 3600 N² + 6400 N², also die Wurzel aus 10000 N² und damit F_res = 100 N. Leas Rechnung 60 N + 80 N = 140 N gilt nur für den Sonderfall, dass beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigen; wären sie einander genau entgegengerichtet, müsste man 80 N − 60 N = 20 N rechnen. Verallgemeinert heißt das: Der Betrag der Resultierenden liegt stets zwischen 20 N und 140 N, und je größer der Winkel zwischen den beiden Kräften ist, desto kleiner fällt er aus. Der typische Fehler ist, Kräfte wie gewöhnliche Zahlen zu addieren und dabei zu übersehen, dass zu jeder Kraft neben dem Betrag auch eine Richtung gehört.

Musterlösung: Die Begründung des Herstellers ist falsch. Die Reibungskraft hängt vom Material der beiden Oberflächen und von der Anpresskraft ab, nicht von der Größe der Auflagefläche und auch nicht von der Geschwindigkeit. Prüfen lässt sich das so: Man zieht einen quaderförmigen Holzklotz, dessen Seitenflächen deutlich verschieden groß sind, mit einem waagerecht gehaltenen Federkraftmesser gleichmäßig über denselben Tisch und liest die Gleitreibungskraft ab, zuerst auf der breiten und dann auf der schmalen Seite liegend. Masse, Klotzmaterial und Untergrund bleiben dabei unverändert, verändert wird allein die Auflagefläche; nach mehreren Messungen zeigt der Kraftmesser innerhalb der Messgenauigkeit denselben Wert, und damit ist die Behauptung widerlegt. Als Gegenprobe legt man ein Wägestück auf den Klotz: Nun steigt die Anzeige deutlich, weil die Anpresskraft größer geworden ist. Der typische Fehler ist, von „mehr Fläche“ direkt auf „mehr Reibung“ zu schließen; dass ein Reifen trotzdem besser bremsen kann, liegt an anderen Größen — zum Beispiel daran, dass ein rollendes Rad die größere Haftreibung nutzt, während ein blockiertes Rad nur die kleinere Gleitreibung hat.

Musterlösung: Beide Zahlen sind zu groß, und zwar aus verschiedenen Gründen. Ein gefüllter Schulrucksack hat eine Masse von etwa 5 kg, seine Gewichtskraft beträgt damit F_G = 5 kg · 9,81 N/kg ≈ 50 N. Die genannten 500 N gehörten zu einer Masse von rund 51 kg; das ist mehr als die halbe Gewichtskraft eines Menschen von etwa 800 N, und da 1 N ungefähr der Gewichtskraft einer Tafel Schokolade entspricht, müssten 500 solcher Tafeln im Rucksack liegen. Die zweite Zahl ist ein Einheitenfehler: Aus v = s : t folgt mit 3 km = 3000 m und 10 min = 600 s die Geschwindigkeit 3000 m : 600 s = 5 m/s, und das sind mit dem Faktor 3,6 genau 18 km/h. Die 18 steht also in km/h und nicht in m/s, denn 18 m/s wären 64,8 km/h und damit Autotempo in der Stadt. Der typische Fehler ist, Zahlenwerte ohne einen Vergleich mit bekannten Größen zu übernehmen und beim Umrechnen den Faktor 3,6 in die falsche Richtung anzuwenden.

Musterlösung: Vorschlag B bringt mehr. Im Ausgangszustand wirkt das Produkt 210 N · 15 cm = 3150 N·cm; Vorschlag A verdoppelt es auf 420 N · 15 cm = 6300 N·cm, Vorschlag B verdreifacht es auf 210 N · 45 cm = 9450 N·cm. B ist also nicht nur wirksamer, sondern auch bequemer, denn eine Zugkraft von 420 N entspricht der Gewichtskraft von etwa 43 kg und ist einhändig kaum aufzubringen, während die 210 N unverändert bleiben. Nach dem Hebelgesetz F₁ · l₁ = F₂ · l₂ würden am 45 cm langen Hebel sogar 3150 N·cm : 45 cm = 70 N ausreichen, um genau dieselbe Wirkung wie am Anfang zu erzielen. Verallgemeinert entscheidet am Hebel nicht die Kraft allein, sondern ihr Produkt mit dem Abstand von der Drehachse — deshalb ist ein Nussknacker mit langen Griffen wirksamer als einer mit kurzen. Umsonst ist auch das nicht: Die Hand am dreifach langen Hebel legt den dreifachen Weg zurück, genau wie es die Goldene Regel der Mechanik verlangt.

Musterlösung: Der Satz ist falsch, denn ohne Kräfte gäbe es überhaupt keinen Schutz. Mit 50 km/h, also 50 : 3,6 ≈ 13,9 m/s, bewegt sich ein Insasse beim Aufprall zunächst weiter; bliebe F_res = 0, so würde er sich nach dem Trägheitsprinzip geradlinig und mit unverändertem Tempo fortbewegen und ungebremst gegen Lenkrad oder Windschutzscheibe treffen. Um ihn zum Stehen zu bringen, muss also zwingend eine Kraft auf ihn wirken. Gurt, Airbag und Knautschzone schaffen diese Kraft nicht ab, sondern verlängern die Zeit, in der abgebremst wird, und verteilen die Kraft zusätzlich auf eine größere Fläche des Körpers: Bei längerer Bremszeit ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit und damit die Beschleunigung kleiner, und nach dem Aktionsprinzip F = m · a fällt dann auch die Kraft kleiner aus. Dass wirklich Kräfte wirken, zeigt das Wechselwirkungsprinzip: Der Kopf drückt auf den Airbag, und der Airbag drückt mit gleich großer, entgegengesetzter Kraft zurück. Der typische Fehler ist die Vorstellung, beim Aufprall drücke eine Kraft die Insassen nach vorn — nach vorn bewegen sie sich allein aufgrund ihrer Trägheit, die Kräfte entstehen erst beim Abbremsen.

Musterlösung: Man baut den Fahrbahnversuch auf: Ein Wagen wird über eine Schnur und eine Umlenkrolle gezogen, und die Zugkraft wird mit einem Federkraftmesser die ganze Zeit auf F = 1,0 N gehalten. Verändert wird ausschließlich die Masse, indem man Wägestücke auflädt, zum Beispiel auf 0,5 kg, 1,0 kg, 1,5 kg und 2,0 kg, während Zugkraft, Fahrbahn und Messstrecke unverändert bleiben; die Beschleunigung wird mit Lichtschranken gemessen und in eine Tabelle eingetragen. Erwartet werden 2,0 m/s², 1,0 m/s², etwa 0,67 m/s² und 0,5 m/s²: Bei doppelter Masse ist die Beschleunigung halb so groß, sie verhält sich also umgekehrt proportional zur Masse. Bildet man in einer dritten Spalte m · a, so steht dort jedes Mal 1,0 N, und zusammen mit dem Versuch bei veränderter Zugkraft führt das auf F = m · a und auf 1 N = 1 kg·m/s². Die wichtigste Störgröße ist die Reibung in Rädern und Umlenkrolle: Sie wirkt der Bewegung entgegen, sodass alle gemessenen Beschleunigungen kleiner ausfallen als berechnet. Klein hält man sie, indem man die Fahrbahn so weit neigt, dass der Wagen ohne Zugkraft gleichförmig weiterrollt, oder indem man eine Luftkissenfahrbahn benutzt, und indem man jede Messung mehrfach wiederholt. Der typische Fehler beim Auswerten ist, die Abweichung zwischen Rechnung und Messung für einen Widerspruch zur Formel zu halten — F = m · a beschreibt den reibungsfreien Fall, die Reibung ist im Modell bewusst weggelassen.