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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Hier zählt der zweite Schritt: die Situation in eine Formel übersetzen, umstellen, umrechnen und begründen — von der Messreihe an der Feder bis zum Vergleich von Flaschenzug und Rampe.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Gesteinsproben für die Marsmission
AFB II

Ein Forschungsteam packt 12 Gesteinsproben mit jeweils 250 g in eine leere Transportkiste. Die Kiste selbst hat eine Masse von 500 g. Auf dem Mars beträgt der Ortsfaktor g = 3,7 N/kg.

a) Berechnen Sie die Gesamtmasse der gepackten Kiste in Kilogramm. b) Berechnen Sie die Gewichtskraft der gepackten Kiste auf dem Mars.

kg
N
Ansatz: Rechnen Sie zuerst alle Massen in dieselbe Einheit um, denn 1 kg sind 1000 g. Die Massen dürfen Sie addieren, weil Masse additiv ist. Für die Gewichtskraft gilt anschließend FG = m · g, wobei die Masse in Kilogramm eingesetzt werden muss.
Rechenweg: 12 · 250 g = 3000 g = 3,0 kg. Mit der Kiste zusammen: m = 3,0 kg + 0,5 kg = 3,5 kg. Damit ist FG = 3,5 kg · 3,7 N/kg = 12,95 N.
Lösung: a) 3,5 kg b) 12,95 N
Vollständige Lösung
Die zwölf Proben haben zusammen 12 · 250 g = 3000 g, also 3,0 kg. Zusammen mit der Verpackung ergibt sich m = 3,0 kg + 0,5 kg = 3,5 kg. Auf dem Mars wirkt darauf die Gewichtskraft FG = m · g = 3,5 kg · 3,7 N/kg = 12,95 N. Antwort: Die gepackte Kiste hat eine Masse von 3,5 kg und auf dem Mars eine Gewichtskraft von 12,95 N. Hinweis: Die Masse von 3,5 kg ist auf dem Mars, auf dem Mond und auf der Erde dieselbe, denn sie ist ein Maß für die Stoffmenge und ortsunabhängig. Nur die Gewichtskraft ändert sich mit dem Ortsfaktor: auf der Erde wären es 3,5 kg · 9,81 N/kg = 34,3 N. Typischer Fehler: 3500 statt 3,5 einsetzen — weil der Ortsfaktor in N/kg angegeben ist, gehört die Masse in Kilogramm in die Formel.
A2
Messreihe am Fahrbahnwagen
AFB II

Auf einer Luftkissenfahrbahn wird ein Wagen mit der Masse 0,50 kg von einem Faden gezogen. Die Messreihe ergibt: bei F = 0,25 N eine Beschleunigung von 0,50 m/s², bei F = 0,50 N eine von 1,0 m/s² und bei F = 0,75 N eine von 1,5 m/s².

a) Berechnen Sie, welche Beschleunigung derselbe Wagen bei einer Zugkraft von 1,20 N erfährt. b) Auf den Wagen wird zusätzliche Masse gelegt. Bei unveränderter Zugkraft von 1,20 N misst man nur noch 0,80 m/s². Berechnen Sie die Masse des beladenen Wagens.

m/s²
kg
Ansatz: Die Messreihe zeigt: verdoppelt man die Kraft, so verdoppelt sich die Beschleunigung, es gilt also a proportional zu F. Dahinter steht das Aktionsprinzip F = m · a. Stellen Sie es einmal nach a und einmal nach m um.
Rechenweg: a = Fm = 1,20 N0,50 kg = 2,4 m/s². Für den beladenen Wagen: m = Fa = 1,20 N0,80 m/s² = 1,5 kg.
Lösung: a) 2,4 m/s² b) 1,5 kg
Vollständige Lösung
Aus F = m · a folgt a = Fm = 1,20 N0,50 kg = 2,4 m/s². Für Teil b) wird nach der Masse umgestellt: m = Fa = 1,20 N0,80 m/s² = 1,5 kg. Antwort: Der leere Wagen beschleunigt mit 2,4 m/s², der beladene Wagen hat eine Masse von 1,5 kg. Hinweis: Kontrolle an der Messreihe: 0,25 N ergeben 0,50 m/s², und 1,20 N sind das 4,8-Fache von 0,25 N, also gehören dazu 4,8 · 0,50 m/s² = 2,4 m/s². Beim beladenen Wagen bleibt die Kraft gleich, die Beschleunigung wird aber kleiner — das ist der Zusammenhang a proportional zu 1m. Typischer Fehler: Masse und Beschleunigung proportional annehmen und 1,20 · 0,80 rechnen. Die Einheit passt übrigens genau, weil 1 N = 1 kg·m/s² ist.
A3
Feder am Stativ
AFB II

Eine Schraubenfeder mit der Federkonstante D = 2,5 N/cm hängt an einem Stativ und hat unbelastet die Ruhelänge 12,0 cm. Daran wird ein Körper mit der Masse 500 g gehängt. Es gilt g = 9,81 N/kg. Die Elastizitätsgrenze der Feder liegt bei einer Dehnung von 8,0 cm.

a) Berechnen Sie die Dehnung der Feder. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. b) Berechnen Sie die Länge der belasteten Feder. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

cm
cm
Ansatz: Die Aufgabe braucht zwei Schritte. Zuerst die Zugkraft an der Feder: das ist die Gewichtskraft des Körpers, FG = m · g. Danach liefert das hookesche Gesetz F = D · s, nach der Dehnung umgestellt s = FD. Beachten Sie: die Dehnung ist die Verlängerung gegenüber der Ruhelänge, nicht die Gesamtlänge.
Rechenweg: FG = 0,500 kg · 9,81 N/kg = 4,905 N. Damit s = 4,905 N2,5 N/cm = 1,962 cm, gerundet 1,96 cm. Die Länge unter Last ist 12,0 cm + 1,96 cm = 13,96 cm.
Lösung: a) 1,96 cm b) 13,96 cm
Vollständige Lösung
Die Feder wird von der Gewichtskraft des Körpers gezogen: FG = m · g = 0,500 kg · 9,81 N/kg = 4,905 N. Das hookesche Gesetz nach s umgestellt ergibt s = FD = 4,905 N2,5 N/cm = 1,962 cm, also rund 1,96 cm. Die Länge der belasteten Feder ist Ruhelänge plus Dehnung: 12,0 cm + 1,96 cm = 13,96 cm. Antwort: Die Feder dehnt sich um 1,96 cm und ist dann 13,96 cm lang. Hinweis: Die Dehnung von 1,96 cm liegt weit unter der Elastizitätsgrenze von 8,0 cm. Das hookesche Gesetz ist hier also gültig, und die Feder geht nach dem Abnehmen der Last vollständig in die Ruhelänge zurück (elastische Verformung). Typischer Fehler: die Masse in Gramm einsetzen oder Dehnung und Federlänge verwechseln und in Teil b) noch einmal 1,96 cm angeben.
A4
Kräfteplan an einer Transportkiste
AFB II

Zwei Personen ziehen eine Transportkiste über einen Hallenboden, beide in derselben waagerechten Richtung. In einem Kräfteplan mit dem Kräftemaßstab 1 cm entspricht 20 N ist der Kraftpfeil von Person A 3,5 cm lang, der Kraftpfeil von Person B 2,0 cm lang. Die Reibungskraft auf die Kiste beträgt 85 N und wirkt entgegen der Zugrichtung.

a) Berechnen Sie die Summe der beiden Zugkräfte. b) Berechnen Sie die resultierende Kraft, die insgesamt auf die Kiste wirkt.

N
N
Ansatz: Rechnen Sie die Pfeillängen mit dem Kräftemaßstab in Newton um. Kräfte mit gleicher Richtung werden addiert, entgegengesetzte Kräfte voneinander abgezogen.
Rechenweg: FA = 3,5 cm · 20 N/cm = 70 N und FB = 2,0 cm · 20 N/cm = 40 N, zusammen 110 N. Die Reibung wirkt entgegengesetzt: Fres = 110 N − 85 N = 25 N in Zugrichtung.
Lösung: a) 110 N b) 25 N
Vollständige Lösung
Mit dem Kräftemaßstab wird aus jeder Pfeillänge eine Kraft: FA = 3,5 cm · 20 N/cm = 70 N, FB = 2,0 cm · 20 N/cm = 40 N. Beide Kräfte haben dieselbe Richtung und werden addiert: FZug = 70 N + 40 N = 110 N. Die Reibungskraft von 85 N zeigt in die Gegenrichtung und wird abgezogen: Fres = 110 N − 85 N = 25 N. Antwort: Die Personen ziehen mit zusammen 110 N, auf die Kiste wirkt eine resultierende Kraft von 25 N in Zugrichtung. Hinweis: Zu jedem Kraftpfeil gehören Betrag, Richtung und Angriffspunkt; ohne den Kräftemaßstab wäre eine Pfeillänge in cm noch keine Kraftangabe. Weil Fres = 25 N nicht null ist, wird die Kiste schneller. Erst bei Fres = 0 bliebe sie in Ruhe oder bewegte sich gleichförmig weiter, so sagt es das Trägheitsprinzip. Typischer Fehler: alle drei Kräfte addieren und 195 N erhalten, ohne auf die Richtungen zu achten.
A5
Brechstange als zweiseitiger Hebel
AFB II

Eine Steinplatte drückt mit 900 N auf das kurze Ende einer Brechstange. Der Drehpunkt liegt auf einem Holzklotz zwischen der Last und der Hand, die Brechstange ist also ein zweiseitiger Hebel. Der Lastarm ist 15 cm lang, der Kraftarm 90 cm.

a) Berechnen Sie die Kraft, die am langen Ende nötig ist, um die Platte gerade anzuheben. b) Das lange Ende wird um 24 cm nach unten gedrückt. Berechnen Sie, um welche Strecke sich die Last dabei hebt.

N
cm
Ansatz: Für den zweiseitigen Hebel gilt F1 · l1 = F2 · l2. Stellen Sie diese Gleichung nach der gesuchten Kraft um. Für den Weg hilft die Goldene Regel der Mechanik F1 · s1 = F2 · s2: was an Kraft gespart wird, muss an Weg zugelegt werden.
Rechenweg: F2 = F1 · l1l2 = 900 N · 15 cm90 cm = 150 N. Für den Weg: sLast = 150 N · 24 cm900 N = 4,0 cm.
Lösung: a) 150 N b) 4,0 cm
Vollständige Lösung
Das Hebelgesetz nach der Handkraft umgestellt ergibt F2 = F1 · l1l2 = 900 N · 15 cm90 cm = 150 N. Die Goldene Regel F1 · s1 = F2 · s2 liefert den Hubweg der Last: sLast = 150 N · 24 cm900 N = 4,0 cm. Antwort: Am langen Ende genügen 150 N, und die Platte hebt sich dabei um 4,0 cm. Hinweis: Der Kraftarm ist sechsmal so lang wie der Lastarm, deshalb sinkt die nötige Kraft auf ein Sechstel von 900 N. Genau um denselben Faktor wird der Weg länger: 24 cm an der Hand gegen 4,0 cm an der Last. Kraft mal Weg ist auf beiden Seiten gleich groß, ein Kraftwandler spart also Kraft und niemals Arbeit. Typischer Fehler: Lastarm und Kraftarm vertauschen und 900 N · 90 cm : 15 cm = 5400 N erhalten — ein Ergebnis, das größer als die Last ist und schon deshalb nicht stimmen kann.
A6
Flaschenzug oder Rampe
AFB II

Eine Kiste mit der Masse 60 kg soll 2,0 m hoch auf eine Laderampe gebracht werden. Es gilt g = 9,81 N/kg. Zur Wahl stehen ein Flaschenzug mit 4 tragenden Seilstücken und eine 6,0 m lange schiefe Ebene. Die Reibung wird in beiden Fällen vernachlässigt.

a) Berechnen Sie die Zugkraft am Flaschenzug. Runden Sie auf eine Nachkommastelle. b) Berechnen Sie die Zugkraft auf der 6,0 m langen schiefen Ebene. Runden Sie auf eine Nachkommastelle.

N
N
Ansatz: Beide Male brauchen Sie zuerst die Gewichtskraft FG = m · g. Für den Flaschenzug gilt dann F = FGn mit n tragenden Seilstücken, für die schiefe Ebene F = FG · hl.
Rechenweg: FG = 60 kg · 9,81 N/kg = 588,6 N. Flaschenzug: 588,6 N4 = 147,15 N, gerundet 147,2 N. Schiefe Ebene: 588,6 N · 2,0 m6,0 m = 196,2 N.
Lösung: a) 147,2 N b) 196,2 N
Vollständige Lösung
Die Kiste hat die Gewichtskraft FG = 60 kg · 9,81 N/kg = 588,6 N. Der Flaschenzug mit vier tragenden Seilstücken verteilt diese Kraft auf vier Stücke: F = 588,6 N4 = 147,15 N, also rund 147,2 N. Auf der schiefen Ebene gilt F = FG · hl = 588,6 N · 2,0 m6,0 m = 196,2 N. Antwort: Am Flaschenzug sind rund 147,2 N nötig, auf der Rampe 196,2 N — der Flaschenzug spart mehr Kraft. Hinweis: Der Vergleich lohnt sich auch für den Weg: am Flaschenzug muss das Seil 4 · 2,0 m = 8,0 m weit gezogen werden, auf der Rampe nur 6,0 m. Rechnet man Kraft mal Weg, kommt beides auf denselben Wert: 147,15 N · 8,0 m und 196,2 N · 6,0 m ergeben jeweils 1177,2. Genau das besagt die Goldene Regel der Mechanik, und beide Kraftwandler ändern deshalb nur den Betrag der Kraft. Typischer Fehler: bei der schiefen Ebene die Rampenlänge in den Zähler setzen; dann käme eine Kraft heraus, die größer als die Gewichtskraft ist.
A7
Haft-, Gleit- und Rollreibung im Versuch
AFB II

Ein Holzklotz mit der Masse 2,0 kg liegt auf einer waagerechten Holzplatte und wird mit einem Federkraftmesser gezogen; es gilt g = 9,81 N/kg. Die Messung ergibt: zum Losreißen sind 7,0 N nötig, für gleichmäßiges Weiterziehen genügen 5,0 N, und mit Rollen unter dem Klotz genügen 1,5 N.

a) Berechnen Sie die Kraft, mit der der Klotz auf die Platte drückt. b) Ein zweiter, gleich schwerer Klotz wird oben aufgelegt, die Anpresskraft verdoppelt sich also. Die Reibungskraft wächst proportional zur Anpresskraft. Berechnen Sie die Kraft, die jetzt zum gleichmäßigen Weiterziehen nötig ist.

N
N
Ansatz: Auf der waagerechten Platte ist die Anpresskraft gerade die Gewichtskraft, also FG = m · g. Für Teil b) nutzen Sie die Proportionalität: doppelte Anpresskraft bedeutet doppelte Reibungskraft. Gefragt ist gleichmäßiges Ziehen, also die Gleitreibung.
Rechenweg: FG = 2,0 kg · 9,81 N/kg = 19,62 N. Mit zwei Klötzen beträgt die Anpresskraft 2 · 19,62 N = 39,24 N, die Gleitreibung also 2 · 5,0 N = 10 N.
Lösung: a) 19,62 N b) 10 N
Vollständige Lösung
Der Klotz drückt mit seiner Gewichtskraft auf die Platte: FG = m · g = 2,0 kg · 9,81 N/kg = 19,62 N. Für gleichmäßiges Ziehen wird die Gleitreibung von 5,0 N benötigt. Verdoppelt sich die Anpresskraft auf 39,24 N, so verdoppelt sich auch die Gleitreibung: 2 · 5,0 N = 10 N. Antwort: Der Klotz drückt mit 19,62 N auf die Platte, und mit dem zweiten Klotz sind 10 N zum gleichmäßigen Ziehen nötig. Hinweis: Die Messreihe zeigt die typische Reihenfolge: Haftreibung 7,0 N ist größer als Gleitreibung 5,0 N, und diese ist größer als Rollreibung 1,5 N. Deshalb ruckt eine schwere Kiste beim Anschieben zuerst und gleitet danach leichter. Die Reibungskraft hängt von den Materialien und von der Anpresskraft ab, nicht von der Größe der Auflagefläche und nicht von der Geschwindigkeit. Typischer Fehler: in Teil b) mit den 7,0 N des Losreißens weiterrechnen, obwohl das gleichmäßige Ziehen gefragt ist.
A8
Anhalteweg im Stadtverkehr
AFB II

Ein Auto fährt mit 54 km/h durch eine Ortschaft. Die Fahrerin braucht 1,0 s, bis sie auf ein Hindernis reagiert und das Bremspedal tritt. Der Bremsweg beträgt bei dieser Geschwindigkeit 22,5 m.

a) Rechnen Sie die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde um. b) Berechnen Sie den Anhalteweg des Autos.

m/s
m
Ansatz: Von km/h zu m/s wird durch 3,6 geteilt. Während der Reaktionszeit fährt das Auto unverändert weiter; aus v = st folgt für diesen Reaktionsweg s = v · t. Der Anhalteweg ist die Summe aus Reaktionsweg und Bremsweg.
Rechenweg: v = 54 km/h3,6 = 15 m/s. Reaktionsweg: s = 15 m/s · 1,0 s = 15 m. Anhalteweg: 15 m + 22,5 m = 37,5 m.
Lösung: a) 15 m/s b) 37,5 m
Vollständige Lösung
Zuerst die Einheit: v = 54 km/h3,6 = 15 m/s. In der Reaktionszeit legt das Auto mit unveränderter Geschwindigkeit den Reaktionsweg s = v · t = 15 m/s · 1,0 s = 15 m zurück. Dazu kommt der Bremsweg von 22,5 m. Antwort: Das Auto fährt 15 m/s schnell und braucht bis zum Stillstand einen Anhalteweg von 37,5 m. Hinweis: Im t-s-Diagramm bleibt die Gerade während der Reaktionszeit gleich steil, denn dort bremst noch nichts — erst danach wird die Kurve flacher. Beim Aufprall wirkt die Trägheit weiter: Gurt, Airbag und Knautschzone verlängern die Bremszeit, dadurch wird die Kraft auf die Insassen kleiner. Typischer Fehler: 54 direkt mit 1,0 s multiplizieren und 54 m Reaktionsweg erhalten, oder den Reaktionsweg ganz vergessen und nur den Bremsweg angeben.
A9
Messreihe an einer unbekannten Feder
AFB II

Eine Feder wird mit Wägestücken belastet. Die Messreihe: 1,0 N ergeben 0,8 cm Dehnung, 2,0 N ergeben 1,6 cm, 3,0 N ergeben 2,4 cm und 4,0 N ergeben 3,2 cm. Trägt man die Wertepaare in ein F-s-Diagramm ein, so liegen alle Punkte auf einer Ursprungsgeraden. Es gilt g = 9,81 N/kg.

a) Bestimmen Sie die Federkonstante der Feder aus der Messreihe. b) An dieselbe Feder wird ein unbekannter Körper gehängt und dehnt sie um 4,8 cm. Berechnen Sie die Masse dieses Körpers in Gramm und runden Sie auf ganze Gramm.

N/cm
g
Ansatz: Eine Ursprungsgerade im F-s-Diagramm bedeutet, dass Kraft und Dehnung proportional sind; es gilt das hookesche Gesetz F = D · s. Die Federkonstante ist die Steigung dieser Geraden, also D = Fs. Für Teil b) rechnen Sie erst mit F = D · s die Kraft und dann mit m = FGg die Masse.
Rechenweg: D = 1,0 N0,8 cm = 1,25 N/cm; jedes andere Wertepaar liefert denselben Wert, etwa 4,0 N3,2 cm. Dann F = 1,25 N/cm · 4,8 cm = 6,0 N und m = 6,0 N9,81 N/kg = 0,6116 kg = 611,6 g, gerundet 612 g.
Lösung: a) 1,25 N/cm b) 612 g
Vollständige Lösung
Aus jedem Wertepaar der Messreihe folgt dieselbe Steigung: D = Fs = 1,0 N0,8 cm = 1,25 N/cm. Bei einer Dehnung von 4,8 cm zieht an der Feder die Kraft F = D · s = 1,25 N/cm · 4,8 cm = 6,0 N. Diese Kraft ist die Gewichtskraft des Körpers, also m = FGg = 6,0 N9,81 N/kg = 0,6116 kg, das sind 612 g. Antwort: Die Feder hat die Federkonstante 1,25 N/cm, und der Körper hat eine Masse von rund 612 g. Hinweis: Dass alle vier Wertepaare dieselbe Federkonstante ergeben, ist die eigentliche Probe auf die Proportionalität; eine nach oben abbiegende Kurve wäre ein Zeichen dafür, dass die Elastizitätsgrenze überschritten ist und das hookesche Gesetz nicht mehr gilt. Typischer Fehler: die Steigung umgekehrt bilden und sF = 0,8 cm je Newton als Federkonstante angeben, oder am Schluss die 6,0 N als Masse hinschreiben — Newton und Gramm sind verschiedene Größen.
A10
Zwei Schlepper an einem Ponton
AFB II

Ein Ponton wird von zwei Schleppern gezogen. Schlepper A zieht mit 900 N nach Norden, Schlepper B mit 1200 N nach Osten. Die beiden Zugrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

a) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft der beiden Schlepper. b) Ein dritter Schlepper zieht mit 1100 N genau entgegengesetzt zu dieser Resultierenden. Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die dann noch auf den Ponton wirkt.

N
N
Ansatz: Legen Sie ein Koordinatensystem so, dass die 1200 N die Komponente Fx und die 900 N die Komponente Fy sind. Bei senkrecht zueinander stehenden Kräften ist der Betrag der Resultierenden die Wurzel aus der Summe der Quadrate. In Teil b) wirken zwei Kräfte auf derselben Wirkungslinie, aber entgegengesetzt; sie werden voneinander abgezogen.
Rechenweg: Fres ist die Wurzel aus (1200 N)² + (900 N)², also die Wurzel aus 1440000 N² + 810000 N² = 2250000 N², das ergibt 1500 N. Danach: 1500 N − 1100 N = 400 N.
Lösung: a) 1500 N b) 400 N
Vollständige Lösung
Die beiden Zugkräfte sind die Komponenten Fx = 1200 N und Fy = 900 N. Nach dem Satz des Pythagoras ist Fres die Wurzel aus (1200 N)² + (900 N)² = 2250000 N², also 1500 N. Der dritte Schlepper zieht mit 1100 N in die Gegenrichtung, sein Beitrag wird abgezogen: 1500 N − 1100 N = 400 N. Antwort: Die beiden Schlepper ziehen mit zusammen 1500 N, mit dem dritten Schlepper bleiben 400 N übrig. Hinweis: Erst bei 1100 N plus 400 N, also bei 1500 N des dritten Schleppers, wäre Fres = 0 und der Ponton bliebe in Ruhe oder liefe gleichförmig weiter. Achten Sie auf den Unterschied: Beim Kräftegleichgewicht greifen alle Kräfte an EINEM Körper an, beim Wechselwirkungspaar dagegen wirken Kraft und Gegenkraft an ZWEI verschiedenen Körpern und heben sich deshalb niemals auf. Typischer Fehler: 900 N und 1200 N zu 2100 N addieren; das gilt nur für Kräfte mit gleicher Richtung.