Die schiefe Ebene

Benötigt werden die Gewichtskraft des Fasses \( F_{\mathrm{G}} \) — sie folgt aus der Masse 45 kg und dem Ortsfaktor \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \) —, die Höhe der Rampe \( h = 0{,}80\ \mathrm{m} \) und die Länge der Rampe \( l = 3{,}2\ \mathrm{m} \). Vernachlässigt wird die Reibung zwischen Fass und Bohle. Antwortsatz: Für die Zugkraft braucht man die Gewichtskraft des Fasses sowie Höhe und Länge der Bohle; die Reibung bleibt unberücksichtigt.

Ansatz 1: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \). Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} = 45\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 441{,}45\ \mathrm{N} \approx 441{,}5\ \mathrm{N} \). Einheitenprobe: \( \mathrm{kg} \cdot \mathrm{N/kg} = \mathrm{N} \). Ansatz 2: \( F = F_{\mathrm{G}} \cdot \dfrac{h}{l} \). Zwischenschritt: \( \dfrac{h}{l} = \dfrac{0{,}80\ \mathrm{m}}{3{,}2\ \mathrm{m}} = 0{,}25 \). Rechnung: \( F = 441{,}45\ \mathrm{N} \cdot 0{,}25 = 110{,}36\ \mathrm{N} \approx 110{,}4\ \mathrm{N} \). Kontrolle: 110,4 N ist deutlich kleiner als 441,5 N, wie es an einer Rampe sein muss. Antwortsatz: Das Fass hat eine Gewichtskraft von etwa 441,5 N; zum Hinaufrollen entlang der Bohle genügt eine Zugkraft von etwa 110,4 N, also nur ein Viertel davon.

Die Gewichtskraft zeigt senkrecht nach unten und bleibt unverändert, denn sie hängt nur von Masse und Ortsfaktor ab. An der Rampe lässt sie sich in zwei Teilkräfte zerlegen: die Hangabtriebskraft entlang der Rampenfläche und die Normalkraft senkrecht dazu. Die Normalkraft wird von der Rampe selbst aufgenommen, nur die Hangabtriebskraft muss beim Hinaufziehen überwunden werden. Weil die Höhe der Rampe kleiner als ihre Länge ist, ist diese Teilkraft nach \( F = F_{\mathrm{G}} \cdot \dfrac{h}{l} \) stets kleiner als die Gewichtskraft. Antwortsatz: Die Rampe verkleinert nicht die Gewichtskraft, sondern teilt sie auf — man muss nur den Teil entlang der Rampe überwinden und legt dafür einen längeren Weg zurück.

Ansatz: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \) und \( F = F_{\mathrm{G}} \cdot \dfrac{h}{l} \) mit \( h = 0{,}42\ \mathrm{m} \). Gewichtskraft: \( F_{\mathrm{G}} = 95\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 931{,}95\ \mathrm{N} \approx 932\ \mathrm{N} \). Rampe 2,8 m: \( \dfrac{0{,}42}{2{,}8} = 0{,}15 \), also \( F = 931{,}95\ \mathrm{N} \cdot 0{,}15 = 139{,}8\ \mathrm{N} \). Rampe 4,2 m: \( \dfrac{0{,}42}{4{,}2} = 0{,}10 \), also \( F = 931{,}95\ \mathrm{N} \cdot 0{,}10 = 93{,}2\ \mathrm{N} \). Rampe 6,0 m: \( \dfrac{0{,}42}{6{,}0} = 0{,}07 \), also \( F = 931{,}95\ \mathrm{N} \cdot 0{,}07 = 65{,}2\ \mathrm{N} \). Nicht benötigt werden die Breite 1,20 m, die Masse 18 kg der Rampe und die Zahl der Stufen. Antwortsatz: Die nötige Zugkraft beträgt etwa 139,8 N bei 2,8 m, etwa 93,2 N bei 4,2 m und etwa 65,2 N bei 6,0 m Rampenlänge.

Als vollständig gilt eine Antwort, die die Kriterien nennt, sie mit den Zahlen aus b) verknüpft und sich eindeutig festlegt. Erwartete Festlegung: die 6,0 m lange Rampe, denn nur bei ihr liegt die nötige Zugkraft mit etwa 65,2 N unter der Grenze von 80 N; 4,2 m verlangen mit etwa 93,2 N und 2,8 m mit etwa 139,8 N deutlich mehr. Abzuwägen ist dagegen, dass die 6,0 m lange Rampe am meisten Platz auf dem Gehweg braucht und den längsten Weg bedeutet — die Kraftersparnis wird also mit Weg und Platz bezahlt. Auch die 4,2 m lange Rampe ist vertretbar, wenn begründet wird, dass zwei Begleitpersonen zusammen ziehen oder der Gehweg keine 6,0 m zulässt. Nicht vertretbar ist die 2,8 m lange Rampe: 139,8 N übersteigen die Grenze fast um das Doppelte. Antwortsatz: Gewählt wird die 6,0 m lange Rampe, weil nur sie mit etwa 65,2 N unter der Belastungsgrenze von 80 N bleibt.