Hängelampe im Treppenhaus
AFB I–IIIm Treppenhaus hängt eine Lampe der Masse 4,0 kg an zwei gleich langen Drahtseilen. Die Seile führen symmetrisch schräg nach oben zu zwei Haken in der Decke. Gerechnet wird mit dem Ortsfaktor der Erde, \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \). Für die Zeichnung wird der Maßstab 1 cm ≙ 10 N gewählt; im fertigen Kräfteparallelogramm ist jeder der beiden Seilkraftpfeile 2,8 cm lang.
- Nennen Sie die Kraft, die bei dieser Zerlegung die Diagonale des Kräfteparallelogramms bildet, sowie die beiden Richtungen, in die sie zerlegt wird.
- Bestimmen Sie die Gewichtskraft der Lampe und den Betrag einer einzelnen Seilkraft.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zerlegt wird die Gewichtskraft der Lampe; sie zeigt senkrecht nach unten und bildet im Kräfteparallelogramm die Diagonale. Zerlegt wird sie in die beiden Richtungen der Drahtseile, also schräg nach oben links und schräg nach oben rechts; die beiden Teilkräfte sind damit die Seilkräfte. Antwortsatz: Die Diagonale ist die Gewichtskraft der Lampe, die beiden Richtungen sind die der zwei Drahtseile.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \). Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} = 4{,}0\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 39{,}24\ \mathrm{N} \approx 39{,}2\ \mathrm{N} \). Einheitenprobe: \( \mathrm{kg} \cdot \mathrm{N/kg} = \mathrm{N} \). Seilkraft aus der Zeichnung: Maßstab 1 cm ≙ 10 N, Pfeillänge 2,8 cm, also \( F_{\mathrm{Seil}} = 2{,}8\ \mathrm{cm} \cdot 10\ \mathrm{N/cm} = 28\ \mathrm{N} \). Antwortsatz: Die Lampe hat eine Gewichtskraft von etwa 39,2 N, und jedes der beiden Drahtseile zieht mit 28 N — also mit deutlich mehr als der Hälfte von 39,2 N.
Getränkekiste auf der Laderampe
AFB II–IIIEin Getränkelieferant schiebt eine Kiste über eine gerade Laderampe in seinen Transporter. Die Kiste enthält 12 Flaschen zu je 1,0 L; zusammen mit dem Leergut hat die volle Kiste eine Masse von 15 kg. Die Rampe ist 2,4 m lang, 0,80 m breit und überwindet eine Höhe von 0,60 m; für den Weg über die Rampe braucht der Lieferant etwa 4 s. Für seine Zeichnung wählt er den Maßstab 1 cm ≙ 25 N. Im gezeichneten Kräfteparallelogramm ist der Pfeil der Hangabtriebskraft 1,5 cm lang, der Pfeil der Normalkraft 5,7 cm. Gerechnet wird mit \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \).
- Beschreiben Sie, in welche zwei Teilkräfte die Gewichtskraft der Kiste auf der Rampe zerlegt wird und welche Richtung jede der beiden Teilkräfte hat.
- Weisen Sie nach, dass die Hangabtriebskraft weniger als ein Drittel der Gewichtskraft der Kiste beträgt.
- Widerlegen Sie die Behauptung eines Mitarbeiters: „Die Beträge von Hangabtriebskraft und Normalkraft müssen zusammen die Gewichtskraft ergeben, sonst wäre ja Kraft verschwunden.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zerlegt wird die Gewichtskraft der Kiste; sie zeigt senkrecht nach unten und bildet die Diagonale des Kräfteparallelogramms. Die eine Teilkraft verläuft parallel zur Rampenfläche und zeigt die Rampe hinab; sie heißt Hangabtriebskraft. Die andere Teilkraft steht senkrecht zur Rampenfläche und drückt die Kiste auf die Rampe; sie heißt Normalkraft. Antwortsatz: Die Gewichtskraft der Kiste zerfällt in die Hangabtriebskraft parallel zur Rampe und die Normalkraft senkrecht zur Rampenfläche; beide zusammen haben genau dieselbe Wirkung wie die Gewichtskraft allein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: Gewichtskraft mit \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \), Hangabtriebskraft aus Pfeillänge mal Maßstab. Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} = 15\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 147{,}15\ \mathrm{N} \approx 147\ \mathrm{N} \); ein Drittel davon ist \( 147{,}15\ \mathrm{N} : 3 = 49{,}05\ \mathrm{N} \). Aus der Zeichnung: \( F_{\mathrm{H}} = 1{,}5\ \mathrm{cm} \cdot 25\ \mathrm{N/cm} = 37{,}5\ \mathrm{N} \). Vergleich: \( 37{,}5\ \mathrm{N} < 49{,}05\ \mathrm{N} \). Antwortsatz: Die Hangabtriebskraft beträgt 37,5 N und ist damit kleiner als ein Drittel der Gewichtskraft von etwa 147 N; die Aussage ist nachgewiesen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: beide Teilkräfte aus der Zeichnung bestimmen und ihre Beträge addieren. Rechnung: \( F_{\mathrm{H}} = 1{,}5\ \mathrm{cm} \cdot 25\ \mathrm{N/cm} = 37{,}5\ \mathrm{N} \), \( F_{\mathrm{N}} = 5{,}7\ \mathrm{cm} \cdot 25\ \mathrm{N/cm} = 142{,}5\ \mathrm{N} \), Summe der Beträge \( 37{,}5\ \mathrm{N} + 142{,}5\ \mathrm{N} = 180\ \mathrm{N} \). Die Gewichtskraft beträgt dagegen \( 15\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 147{,}15\ \mathrm{N} \approx 147\ \mathrm{N} \). Wegen \( 180\ \mathrm{N} \neq 147\ \mathrm{N} \) ist die Behauptung widerlegt. Begründung: Kräfte werden nicht wie Zahlen addiert, sondern als Pfeile mit Richtung. Die Gewichtskraft ist die Diagonale des Kräfteparallelogramms, die beiden Teilkräfte sind die Seiten — und eine Diagonale ist kürzer als die Summe der beiden Seiten, solange die Seiten nicht dieselbe Richtung haben. Verschwunden ist dabei nichts: Die beiden Teilkräfte haben gemeinsam genau dieselbe Wirkung wie die Gewichtskraft. Als vollständige Antwort gilt die Rechnung mit dem Zahlenwiderspruch plus die Begründung über Diagonale und Seiten. Antwortsatz: Die Summe der Beträge ergibt 180 N statt 147 N; die Behauptung ist widerlegt, weil sich die Beträge zweier Kräfte nur dann addieren lassen, wenn beide dieselbe Richtung haben.