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Kräfteaddition rechnerisch

Bei drei Anordnungen zweier Kräfte genügt eine Zeile Rechnung — Lineal und Kräfteparallelogramm bleiben im Etui.

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Bücherkiste auf dem Schulhof

AFB I–II

Lena und Yusuf schieben eine Bücherkiste über den Schulhof. Beide greifen am selben Punkt der Kiste an. Lena drückt mit einer Kraft von 24 N, Yusuf mit einer Kraft von 18 N. Zunächst schieben beide in dieselbe Richtung.

  1. Ordnen Sie den drei rechenbaren Anordnungen zweier Kräfte — gleiche Richtung, entgegengesetzte Richtung und senkrecht zueinander — jeweils die Formel zu, mit der sich der Betrag der resultierenden Kraft berechnen lässt.
  2. Bestimmen Sie den Betrag der resultierenden Kraft für zwei Anordnungen: einmal schieben Lena und Yusuf in dieselbe Richtung, einmal schiebt Yusuf senkrecht zu Lena.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nicht die Größe der Kräfte entscheidet über die Formel, sondern ihre Anordnung. Überlegen Sie für jede der drei Anordnungen, welche Rechenoperation die beiden Beträge verknüpft; in einem der Fälle bilden die Kräfte die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.Zuordnen verlangt hier nur die drei Paare aus Anordnung und Formel — eine Rechnung ist noch nicht gefordert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie die beiden gegebenen Beträge in die jeweils passende Formel ein. Achten Sie im senkrechten Fall auf die Reihenfolge: erst quadrieren, dann addieren, dann die Wurzel ziehen. Zur Kontrolle muss das senkrechte Ergebnis zwischen 6 N und 42 N liegen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Über die Formel entscheidet allein die Anordnung der beiden Kräfte. Gleiche Richtung: \( F_{\mathrm{res}} = F_1 + F_2 \). Entgegengesetzte Richtung: \( F_{\mathrm{res}} = F_1 - F_2 \), wobei \( F_1 \) die größere der beiden Kräfte ist; die resultierende Kraft zeigt in Richtung der größeren Kraft. Senkrecht zueinander: \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \), denn die beiden Kräfte sind die Katheten und die resultierende Kraft ist die Hypotenuse. Antwortsatz: Der gleichen Richtung gehört die Summe der Beträge, der entgegengesetzten Richtung die Differenz und dem senkrechten Fall der Satz des Pythagoras.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz gleiche Richtung: \( F_{\mathrm{res}} = F_1 + F_2 \). Rechnung: \( F_{\mathrm{res}} = 24\ \mathrm{N} + 18\ \mathrm{N} = 42\ \mathrm{N} \). Ansatz senkrecht: \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \). Rechnung: \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{(24\ \mathrm{N})^2 + (18\ \mathrm{N})^2} = \sqrt{576\ \mathrm{N}^2 + 324\ \mathrm{N}^2} = \sqrt{900\ \mathrm{N}^2} = 30\ \mathrm{N} \). Antwortsatz: Schieben beide in dieselbe Richtung, so beträgt die resultierende Kraft 42 N; schiebt Yusuf senkrecht zu Lena, so sind es 30 N.

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Modellboot über den Kanal

AFB II–III

In der Physik-AG lässt Mia ein Modellboot über einen 6,0 m breiten Kanal fahren. Der Motor drückt das Boot mit einer Kraft von 12,0 N genau senkrecht zum Ufer. Die Strömung des Wassers drückt gleichzeitig mit einer Kraft von 5,0 N längs des Kanals. Das Boot hat eine Masse von 1,4 kg und braucht für die Überfahrt 15 s; auf der Erde gilt der Ortsfaktor \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \). In der Kiste liegt außerdem ein zweiter Motor mit einer Schubkraft von 7,0 N.

  1. Stellen Sie eine begründete Vermutung darüber auf, ob der Betrag der resultierenden Kraft auf das Boot größer oder kleiner als 17,0 N ist — ohne zu rechnen.
  2. Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass die resultierende Kraft auf das Boot den Betrag 13,0 N hat.
  3. Entscheiden Sie begründet, ob Mia den zweiten Motor längs der Strömung oder gegen die Strömung ausrichten sollte, damit das Boot möglichst geradlinig auf das gegenüberliegende Ufer zufährt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleichen Sie zuerst die beiden Grenzfälle: Welchen Betrag hätte die resultierende Kraft, wenn beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigten, und welchen, wenn sie genau gegeneinander zeigten? Ordnen Sie den senkrechten Fall zwischen diesen Grenzen ein — dafür brauchen Sie noch keine Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Text enthält mehr Angaben als nötig. Suchen Sie die beiden Kräfte heraus, die gleichzeitig am Boot angreifen, und beachten Sie die Reihenfolge der Rechenschritte: quadrieren, addieren, Wurzel ziehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beurteilungskriterien: erstens, wie groß nach dem Einbau die Kraft längs des Kanals in jeder der beiden Ausrichtungen ist; zweitens, wie stark die resultierende Kraft dadurch von der Richtung quer zum Kanal abweicht. Masse, Fahrzeit, Kanalbreite und Ortsfaktor spielen für diese Entscheidung keine Rolle.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vermutung: Der Betrag ist kleiner als 17,0 N. Begründung: \( 12{,}0\ \mathrm{N} + 5{,}0\ \mathrm{N} = 17{,}0\ \mathrm{N} \) ist die Summe der beiden Beträge, und diese wird nur erreicht, wenn beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigen. Hier stehen sie senkrecht zueinander; der Betrag der resultierenden Kraft liegt deshalb zwischen der Differenz 7,0 N und der Summe 17,0 N. Antwortsatz: Die resultierende Kraft ist kleiner als 17,0 N, weil die Summe der Beträge nur bei gleicher Richtung herauskommt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Die beiden Kräfte stehen senkrecht zueinander, also gilt \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \). Rechnung: \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{(12{,}0\ \mathrm{N})^2 + (5{,}0\ \mathrm{N})^2} = \sqrt{144\ \mathrm{N}^2 + 25\ \mathrm{N}^2} = \sqrt{169\ \mathrm{N}^2} = 13{,}0\ \mathrm{N} \). Die Kanalbreite, die Masse, die Fahrzeit und der Ortsfaktor werden dafür nicht gebraucht. Antwortsatz: Die Rechnung bestätigt den Betrag von 13,0 N.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kriterium: Je kleiner die Kraft längs des Kanals bleibt, desto geradliniger fährt das Boot quer zum Ufer. Ausrichtung längs der Strömung: längs wirken dann \( 5{,}0\ \mathrm{N} + 7{,}0\ \mathrm{N} = 12{,}0\ \mathrm{N} \), also \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{(12{,}0\ \mathrm{N})^2 + (12{,}0\ \mathrm{N})^2} \approx 17{,}0\ \mathrm{N} \) in einer um 45° schrägen Richtung. Ausrichtung gegen die Strömung: längs bleiben nur \( 7{,}0\ \mathrm{N} - 5{,}0\ \mathrm{N} = 2{,}0\ \mathrm{N} \), also \( F_{\mathrm{res}} = \sqrt{(12{,}0\ \mathrm{N})^2 + (2{,}0\ \mathrm{N})^2} \approx 12{,}2\ \mathrm{N} \) fast genau quer zum Kanal. Entscheidung: Mia richtet den zweiten Motor gegen die Strömung aus. Antwortsatz: Nur gegen die Strömung schrumpft die störende Kraft längs des Kanals von 5,0 N auf 2,0 N; völlig geradlinig wäre die Fahrt erst bei einer Gegenkraft von genau 5,0 N. Als vollständig gilt die Antwort, wenn für beide Ausrichtungen die Kraft längs des Kanals bestimmt, damit die resultierende Kraft verglichen und daraus eine eindeutige Entscheidung begründet wird.