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Keil und Schraube

In der Axt, im Nagel und in jeder Schraube steckt dieselbe schiefe Ebene — nur so gut verkleidet, dass man sie kaum erkennt.

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Brennholz spalten im Garten

AFB I–II

Zum Spalten von Brennholz wird ein Spaltkeil benutzt. Seine Keilfläche ist 24 cm lang, am hinteren Ende ist der Keil 6,0 cm dick. Ein Vorschlaghammer treibt ihn mit einer Kraft von 400 N in Richtung seiner Länge in einen Holzklotz. Die Reibung im Holz wird vernachlässigt.

  1. Nennen Sie die beiden Strecken am Spaltkeil, die dem langen und dem kurzen Weg einer schiefen Ebene entsprechen.
  2. Bestimmen Sie die Kraft, mit der der Keil das Holz quer zu seiner Bewegungsrichtung auseinanderdrückt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Keil ist eine schiefe Ebene, die selbst bewegt wird. Überlegen Sie, entlang welcher Strecke die Hammerkraft wirkt und quer zu welcher Strecke der Keil das Holz auseinanderdrückt.Nennen heißt hier: die beiden Strecken benennen — ohne Erklärung und ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleichen Sie zuerst die Einheiten an und bilden Sie dann das Verhältnis von Keillänge zu Keildicke. Wie bei jeder schiefen Ebene bleibt das Produkt aus Kraft und Weg gleich.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Erwartet werden die beiden Strecken: die Keillänge \(l = 24\,\text{cm}\) als langer Weg, entlang dessen die Hammerkraft wirkt, und die Keildicke \(d = 6{,}0\,\text{cm}\) als kurzer Weg, quer zu dem der Keil das Holz auseinanderdrückt. Antwortsatz: Die Keilfläche entspricht der Länge der schiefen Ebene, die Keildicke entspricht ihrer Höhe.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Kraft mal Weg bleibt gleich, also \(F_{\text{quer}} \cdot d = F_{\text{treib}} \cdot l\) und damit \(F_{\text{quer}} = F_{\text{treib}} \cdot \frac{l}{d}\). Rechnung: \(l = 24\,\text{cm}\), \(d = 6{,}0\,\text{cm}\), also \(\frac{24\,\text{cm}}{6{,}0\,\text{cm}} = 4{,}0\); \(F_{\text{quer}} = 400\,\text{N} \cdot 4{,}0 = 1600\,\text{N}\). Antwortsatz: Der Spaltkeil drückt das Holz mit 1600 N auseinander, also mit der vierfachen Hammerkraft.

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Hochbett am Wandbalken

AFB II–III

Für ein Hochbett sollen Schrauben in einen Wandbalken aus weichem Nadelholz gedreht werden. Zur Wahl stehen zwei Sorten mit demselben Gewindedurchmesser von 8,0 mm: Schraube A hat eine Gewindesteigung von 4,0 mm, Schraube B eine von 2,0 mm. Beide Schrauben sind 80 mm lang, ihr Kopf hat einen Durchmesser von 14 mm, und beide sollen 60 mm tief im Balken sitzen. Der Akkuschrauber liefert am Gewinde eine Umfangskraft von 50 N und dreht mit 400 Umdrehungen pro Minute. Der Hersteller empfiehlt für weiches Nadelholz das gröbere Gewinde, weil ein feines Gewinde darin leichter ausreißt. Rechnen Sie mit der Näherung \(\pi \approx 3{,}14\) und vernachlässigen Sie die Reibung; in Wirklichkeit ist sie bei Schrauben groß.

  1. Leiten Sie aus dem abgewickelten Gewinde her, wie sich die Längskraft einer Schraube aus der Umfangskraft, dem Gewindeumfang und der Gewindesteigung ergibt.
  2. Ermitteln Sie für beide Schrauben die Längskraft bei einer Umfangskraft von 50 N sowie die Zahl der Umdrehungen bis zur Einschraubtiefe von 60 mm.
  3. Entscheiden Sie sich für eine der beiden Schrauben und stützen Sie Ihre Wahl auf die berechneten Kräfte, die Zahl der Umdrehungen und die Angaben zum Holz.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Betrachten Sie eine einzige Umdrehung: Der Angriffspunkt am Gewinde läuft einmal um den Umfang herum, während die Schraube um die Gewindesteigung vorankommt. Nutzen Sie, dass bei einer schiefen Ebene das Produkt aus Kraft und Weg gleich bleibt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Umfang ist bei beiden Schrauben gleich, weil sie denselben Gewindedurchmesser haben — Sie müssen ihn nur einmal berechnen. Achtung: Nicht alle Zahlenwerte im Text werden gebraucht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Urteilen Sie nach drei Kriterien: der Längskraft, mit der die Schraube ins Holz gezogen wird; der Zahl der Umdrehungen und damit dem Arbeitsaufwand; und der Herstellerempfehlung für weiches Nadelholz. Legen Sie sich am Ende auf genau eine Schraube fest.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: In einer Umdrehung legt der Angriffspunkt am Gewinde den Weg \(U = \pi \cdot d\) zurück, die Schraube gewinnt dabei die Höhe \(h\) (die Gewindesteigung) — das abgewickelte Gewinde ist also eine Rampe der Länge \(U\) und der Höhe \(h\). Herleitung: Weil das Produkt aus Kraft und Weg gleich bleibt, gilt \(F_u \cdot U = F_l \cdot h\), also \(F_l = F_u \cdot \frac{U}{h}\). Antwortsatz: Die Längskraft ist so oft größer als die Umfangskraft, wie der Umfang größer ist als die Gewindesteigung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(U = \pi \cdot d\), \(F_l = F_u \cdot \frac{U}{h}\) und Umdrehungszahl \(n = \frac{t}{h}\). Rechnung: \(U = 3{,}14 \cdot 8{,}0\,\text{mm} = 25{,}12\,\text{mm}\). Schraube A: \(\frac{25{,}12\,\text{mm}}{4{,}0\,\text{mm}} = 6{,}28\), also \(F_l = 50\,\text{N} \cdot 6{,}28 = 314\,\text{N}\), und \(n = \frac{60\,\text{mm}}{4{,}0\,\text{mm}} = 15\). Schraube B: \(\frac{25{,}12\,\text{mm}}{2{,}0\,\text{mm}} = 12{,}56\), also \(F_l = 50\,\text{N} \cdot 12{,}56 = 628\,\text{N}\), und \(n = \frac{60\,\text{mm}}{2{,}0\,\text{mm}} = 30\). Antwortsatz: Schraube A zieht mit 314 N und braucht 15 Umdrehungen, Schraube B zieht mit 628 N, braucht dafür aber 30 Umdrehungen. Nicht gebraucht wurden die Schraubenlänge von 80 mm, der Kopfdurchmesser von 14 mm und die Drehzahl von 400 Umdrehungen pro Minute.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Erwartet wird ein Urteil, das genau eine Schraube festlegt und sich auf mindestens zwei der drei Kriterien mit Zahlen stützt. Mögliches Urteil: Schraube A. Begründung: Sie braucht nur 15 statt 30 Umdrehungen, und der Hersteller empfiehlt für weiches Nadelholz das gröbere Gewinde, weil ein feines Gewinde darin ausreißt; die kleinere Längskraft von 314 N nimmt man dafür in Kauf. Ebenso vertretbar: Schraube B, wenn allein die doppelte Längskraft von 628 N zählt — dann muss begründet werden, warum die Ausreißgefahr im weichen Holz hinnehmbar ist. Als vollständig gilt eine Antwort, die eine Schraube nennt, mindestens zwei Kriterien mit Zahlen belegt und die verworfene Schraube begründet ausschließt. Kein zulässiges Argument ist die Reibung, die hier bewusst vernachlässigt wurde.