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Hebel und Hebelgesetz

Eine verkantete Gehwegplatte und eine Astschere — in zwei Aufgaben rechnen Sie mit dem Hebelgesetz und beurteilen, was ein längerer Kraftarm wirklich bringt.

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Gehwegplatte mit der Brechstange

AFB I–II

Im Garten hat sich eine Gehwegplatte verkantet. Jonas schiebt eine 1,20 m lange Brechstange unter die Platte und legt sie über einen Stein, der als Drehpunkt dient. Vom Drehpunkt bis zur Platte sind es 20 cm, vom Drehpunkt bis zu seinen Händen am anderen Ende der Stange 100 cm. Die Platte drückt mit einer Kraft von 450 N auf das kurze Ende.

  1. Geben Sie den Lastarm und den Kraftarm der Brechstange in Metern an.
  2. Berechnen Sie die Kraft, die Jonas an seinem Ende der Stange aufbringen muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Arme werden vom Drehpunkt aus gemessen, und der Drehpunkt ist der Stein — nicht das Ende der Stange. Rechnen Sie die Zentimeterangaben in Meter um.Angeben verlangt nur die beiden Werte mit Einheit, keine Begründung und keine Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechnen Sie zuerst das Drehmoment auf der Seite der Platte aus. Auf Jonas’ Seite muss derselbe Wert entstehen — dort ist nur noch die Kraft unbekannt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Der Arm einer Kraft ist ihr Abstand vom Drehpunkt. Umrechnung: 20 cm = 0,20 m und 100 cm = 1,00 m. Ergebnis: Lastarm l1 = 0,20 m, Kraftarm l2 = 1,00 m. Antwortsatz: Der Lastarm beträgt 0,20 m, der Kraftarm 1,00 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Im Gleichgewicht gilt das Hebelgesetz \(F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2\). Drehmoment der Last: \(450\,\text{N} \cdot 0{,}20\,\text{m} = 90\,\text{Nm}\). Umstellen und einsetzen: \(F_2 = 90\,\text{Nm} : 1{,}00\,\text{m} = 90\,\text{N}\). Ergebnis: 90 N. Antwortsatz: Jonas muss mit 90 N an der Stange ziehen, also nur mit einem Fünftel der Kraft, mit der die Platte auf das kurze Ende drückt.

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Astschere im Obstgarten

AFB II–III

Eine Astschere ist in ihrem Gelenk drehbar; dieses Gelenk ist der Drehpunkt. Vom Gelenk bis zum Ende eines Griffs sind es 45 cm, vom Gelenk bis zu der Stelle, an der der Ast zwischen den Klingen liegt, 5,0 cm. Die ganze Schere ist 55 cm lang und hat eine Masse von 900 g. Ein trockener Ast bricht erst, wenn eine Klinge mit 720 N auf ihn drückt. Der Gärtner kann mit einer Hand höchstens 250 N auf einen Griff ausüben.

  1. Stellen Sie das Hebelgesetz für einen Griff der Astschere auf und benennen Sie, welche Größe darin gesucht ist.
  2. Zeigen Sie, dass der Gärtner den trockenen Ast mit dieser Schere durchtrennen kann.
  3. Beurteilen Sie den Vorschlag, die Griffe der Schere auf 90 cm zu verlängern, damit sich auch dickere Äste schneiden lassen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ordnen Sie zuerst zu, welche Kraft an welchem Arm angreift: Der Ast liegt nahe am Gelenk, die Hand weit davon entfernt. Nicht alle Angaben im Text werden gebraucht.Aufstellen verlangt die fertige Gleichung mit eingesetzten Zahlen und Einheiten — ausgerechnet werden muss sie hier noch nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Berechnen Sie die Kraft, die eine Hand am Griff aufbringen muss, und stellen Sie sie neben den Wert, den der Gärtner höchstens schafft. Ein Nachweis besteht aus beiden Zahlen und dem Vergleich.
Hinweis zu Aufgabe c)
Urteilen Sie nach drei Kriterien: der nötigen Handkraft, der Handhabbarkeit einer 90 cm langen Schere im Geäst und der Belastbarkeit von Klingen und Gelenk. Ein Urteil ohne Begründung zählt nicht.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Der Ast drückt mit \(F_1 = 720\,\text{N}\) am Lastarm \(l_1 = 5{,}0\,\text{cm} = 0{,}050\,\text{m}\), die Hand greift am Kraftarm \(l_2 = 45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\) an. Gleichung: \(720\,\text{N} \cdot 0{,}050\,\text{m} = F_2 \cdot 0{,}45\,\text{m}\). Gesucht ist die Handkraft F2. Antwortsatz: Das Hebelgesetz lautet hier \(F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2\) mit den Werten 720 N, 0,050 m und 0,45 m; die Gesamtlänge von 55 cm und die Masse von 900 g werden dafür nicht benötigt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Die Hand muss dasselbe Drehmoment erzeugen wie der Ast. Rechnung: \(720\,\text{N} \cdot 0{,}050\,\text{m} = 36\,\text{Nm}\); \(F_2 = 36\,\text{Nm} : 0{,}45\,\text{m} = 80\,\text{N}\). Vergleich: 80 N sind kleiner als die möglichen 250 N. Antwortsatz: Eine Hand muss nur 80 N aufbringen, also weniger als ein Drittel der verfügbaren Kraft — der Gärtner kann den trockenen Ast durchtrennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Erwartet werden eine Rechnung, eine Abwägung und ein eindeutiges Urteil. Rechnerisch: Bei \(l_2 = 0{,}90\,\text{m}\) genügen für denselben Ast \(36\,\text{Nm} : 0{,}90\,\text{m} = 40\,\text{N}\); umgekehrt reichen die 250 N dann für ein Drehmoment von \(250\,\text{N} \cdot 0{,}90\,\text{m} = 225\,\text{Nm}\), das an der Klinge \(225\,\text{Nm} : 0{,}050\,\text{m} = 4500\,\text{N}\) erzeugt — doppelt so viel wie die 2250 N bei 45 cm langen Griffen. Der Vorschlag erreicht sein Ziel also. Dagegen sprechen: Eine 90 cm lange Schere ist im dichten Geäst unhandlich, und die Griffe müssen weiter auseinandergeführt werden; außerdem müssen Klingen und Gelenk die 4500 N aushalten, sonst verbiegt die Schere, bevor der Ast bricht. Ein vollständiges Urteil nennt beide Seiten und entscheidet begründet, zum Beispiel: Die Verlängerung lohnt sich für dicke Äste im freien Stand, für Arbeit im dichten Geäst ist die kurze Schere die bessere Wahl.