Goldene Regel Mechanik

Ansatz: Die Goldene Regel der Mechanik verknüpft die Kraft \(F\) und den Weg \(s\) und lautet \(F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2\). Zwischenschritt: Was an Kraft eingespart wird, muss an Weg zugelegt werden; das Produkt der beiden bleibt unverändert. Ergebnis mit Einheit: Das gleich bleibende Produkt aus Kraft und Weg heißt Arbeit und wird in Newtonmeter (Nm) angegeben, wofür man auch Joule (J) schreibt. Antwortsatz: Die Regel verknüpft Kraft und Weg; gleich bleibt ihr Produkt, die Arbeit in Nm bzw. J.

Ansatz: \(F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2\) mit \(F_1 = 320\,\text{N}\), \(s_1 = 1{,}8\,\text{m}\) und \(s_2 = 3{,}6\,\text{m}\). Rechnung: \(320\,\text{N} \cdot 1{,}8\,\text{m} = 576\,\text{Nm}\); daraus \(F_2 = 576\,\text{Nm} : 3{,}6\,\text{m} = 160\,\text{N}\). Kontrolle in Faktoren: Die Latten sind doppelt so lang wie die Höhe, also halbiert sich die Kraft — \(320\,\text{N} : 2 = 160\,\text{N}\). Ergebnis: 160 N. Antwortsatz: Zum Hinaufschieben über die 3,6 m langen Latten genügen tatsächlich 160 N, also die halbe Kraft — dafür ist der Weg doppelt so lang, und die Arbeit bleibt mit 576 Nm dieselbe.

Ansatz: \(F_G = m \cdot g\); vier tragende Seilstücke teilen die Last auf vier Teile, und der Zugweg wird im gleichen Verhältnis länger. Rechnung: \(F_G = 180\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{N/kg} = 1765{,}8\,\text{N}\); Zugkraft \(F_2 = 1765{,}8\,\text{N} : 4 = 441{,}45\,\text{N} \approx 441\,\text{N}\); Zugweg \(s_2 = 4 \cdot 1{,}50\,\text{m} = 6{,}00\,\text{m}\). Ergebnis: rund 441 N über 6,00 m. Antwortsatz: Herr Bode muss mit etwa 441 N ziehen und dabei 6,00 m Seil durch die Hände laufen lassen. Nicht gebraucht wurden die Zulassung bis 250 kg, die Seillänge von 12 m und die Masse der Rollen.

Ansatz: Beide Seiten der Goldenen Regel getrennt ausrechnen und vergleichen. Rechnung ohne Flaschenzug: \(1765{,}8\,\text{N} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 2648{,}7\,\text{Nm}\). Rechnung mit Flaschenzug: \(441{,}45\,\text{N} \cdot 6{,}00\,\text{m} = 2648{,}7\,\text{Nm}\). Vergleich: Beide Produkte stimmen überein, also gilt \(F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2\). Ergebnis mit Einheit: 2648,7 Nm auf beiden Seiten, gerundet etwa 2,65 kNm. Antwortsatz: Das Produkt aus Kraft und Weg ist mit und ohne Flaschenzug gleich groß; der Flaschenzug viertelt die Kraft und vervierfacht den Weg, sodass sich beide Änderungen genau ausgleichen.

Erwartet wird ein Urteil, das die beiden Hälften des Werbesatzes getrennt bewertet. Erste Hälfte — richtig: Vier tragende Seilstücke verkleinern die nötige Kraft auf ein Viertel, aus 1765,8 N werden 441 N. Zweite Hälfte — falsch: Nach der Goldenen Regel bleibt das Produkt aus Kraft und Weg gleich, die Arbeit von 2648,7 Nm wird also nicht kleiner; die gesparte Kraft wird durch den vierfach längeren Weg genau ausgeglichen. Mit dem Messwert wird es noch deutlicher: \(480\,\text{N} \cdot 6{,}00\,\text{m} = 2880\,\text{Nm}\), das sind \(2880\,\text{Nm} - 2648{,}7\,\text{Nm} = 231{,}3\,\text{Nm}\) und damit etwa 9 % mehr Arbeit als beim direkten Heben — die Reibung in den vier Rollen kostet zusätzlichen Aufwand. Antwortsatz: Der Werbesatz ist in der Kraftangabe richtig und in der Arbeitsangabe falsch; ein Kraftwandler spart Kraft, aber niemals Arbeit, und in der Wirklichkeit verlangt er sogar etwas mehr. Als vollständig gilt eine Antwort, die beide Teilaussagen einzeln beurteilt, die Arbeitsangabe mit der Goldenen Regel widerlegt und die Reibung als Grund für den Mehraufwand nennt.