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Gewichtskraft und Ortsfaktor

Ein Roboter mit 180 kg drückt auf der Erde mit rund 1800 N auf die Hebebühne — auf dem Jupiter wären es über 4000 N, bei genau derselben Masse.

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Rucksack auf der Klassenfahrt

AFB I–II

Jonas packt seinen Rucksack für die Klassenfahrt an die Nordsee. Auf der Kofferwaage im Flur zeigt der fertig gepackte Rucksack eine Masse von 8,5 kg an. Gerechnet wird mit dem Ortsfaktor der Erde, also mit \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \).

  1. Geben Sie die Formel für die Gewichtskraft sowie die Einheiten der drei darin vorkommenden Größen an.
  2. Berechnen Sie die Gewichtskraft des gepackten Rucksacks auf der Erde.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Größen entscheiden über die Gewichtskraft: die Masse des Körpers und der Ortsfaktor des Himmelskörpers. Überlegen Sie, mit welchem Rechenzeichen die beiden verknüpft sind und welche Einheit dann herauskommen muss.Angeben verlangt nur die Formel und die drei Einheiten — eine Begründung ist hier nicht gefordert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie die Masse in Kilogramm und den Ortsfaktor in Newton je Kilogramm in die Formel ein. Prüfen Sie am Schluss die Einheiten: \( \mathrm{kg} \cdot \mathrm{N/kg} \) muss N ergeben. Ein Überschlag mit \( 10\ \mathrm{N/kg} \) zeigt Ihnen, ob Ihr Ergebnis plausibel ist.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \). Darin ist \( F_{\mathrm{G}} \) die Gewichtskraft in Newton (N), \( m \) die Masse in Kilogramm (kg) und \( g \) der Ortsfaktor in Newton je Kilogramm (N/kg). Antwortsatz: Die Gewichtskraft ist das Produkt aus Masse und Ortsfaktor; sie wird in Newton angegeben, die Masse in Kilogramm und der Ortsfaktor in Newton je Kilogramm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \) mit \( m = 8{,}5\ \mathrm{kg} \) und \( g = 9{,}81\ \mathrm{N/kg} \). Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} = 8{,}5\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 83{,}385\ \mathrm{N} \approx 83{,}4\ \mathrm{N} \). Einheitenprobe: \( \mathrm{kg} \cdot \mathrm{N/kg} = \mathrm{N} \). Antwortsatz: Der gepackte Rucksack hat auf der Erde eine Gewichtskraft von etwa 83,4 N.

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Forschungsroboter für den Mars

AFB II–III

Eine Raumfahrtagentur baut einen Forschungsroboter, der auf dem Mars fahren soll. Der fertig montierte Roboter hat eine Masse von 180 kg; allein sein Akkupaket hat eine Masse von 24 kg, seine Kamera eine Masse von 3,5 kg. Der Flug zum Mars dauert etwa sieben Monate. Für die Ortsfaktoren gilt: Erde 9,81 N/kg, Mond 1,6 N/kg, Mars 3,7 N/kg, Jupiter 24,8 N/kg. In der Montagehalle auf der Erde hebt eine Hebebühne den Roboter an; sie ist für Lasten bis 2000 N zugelassen.

  1. Schätzen Sie ohne Taschenrechner ab, wie groß die Gewichtskraft des Roboters auf der Erde ist.
  2. Bestätigen Sie durch eine Rechnung, dass die Gewichtskraft des Roboters auf dem Mars 666 N beträgt.
  3. Widerlegen Sie die Behauptung eines Technikers: „Eine Hebebühne, die den Roboter auf der Erde tragen kann, hält ihn auch auf dem Jupiter, denn seine Masse ist dort dieselbe.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Für eine Abschätzung genügt ein runder Ortsfaktor. Überlegen Sie, welcher Näherungswert für die Erde im Kopf bequem ist, und in welche Richtung das Ergebnis dadurch vom genauen Wert abweicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nicht alle Angaben des Textes werden gebraucht. Suchen Sie die Masse des gesamten Roboters und den Ortsfaktor heraus, der zum genannten Himmelskörper gehört, und rechnen Sie damit nachvollziehbar nach.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei Kriterien entscheiden hier: erstens, welche der beiden Größen — Masse oder Gewichtskraft — die Hebebühne belastet; zweitens der Zahlenvergleich dieser Größe mit der zugelassenen Grenze von 2000 N. Stellen Sie die Grenze der Gewichtskraft gegenüber, die der Roboter am genannten Ort hätte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Für den Überschlag wird der Näherungswert \( g \approx 10\ \mathrm{N/kg} \) benutzt. Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} \approx 180\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{N/kg} = 1800\ \mathrm{N} \). Weil 9,81 kleiner als 10 ist, liegt der genaue Wert knapp darunter, nämlich bei \( 180\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N/kg} = 1765{,}8\ \mathrm{N} \). Antwortsatz: Auf der Erde hat der Roboter eine Gewichtskraft von etwa 1800 N, also von knapp zwei Kilonewton.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \( F_{\mathrm{G}} = m \cdot g \) mit \( m = 180\ \mathrm{kg} \) und dem Ortsfaktor des Mars \( g = 3{,}7\ \mathrm{N/kg} \). Rechnung: \( F_{\mathrm{G}} = 180\ \mathrm{kg} \cdot 3{,}7\ \mathrm{N/kg} = 666\ \mathrm{N} \). Die Masse des Akkupakets, die Masse der Kamera und die Flugdauer werden dafür nicht gebraucht. Antwortsatz: Die Rechnung bestätigt den angegebenen Wert von 666 N.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Belastet wird die Hebebühne nicht von der Masse, sondern von der Gewichtskraft, und diese hängt über den Ortsfaktor vom Ort ab. Gegenrechnung für den Jupiter: \( F_{\mathrm{G}} = 180\ \mathrm{kg} \cdot 24{,}8\ \mathrm{N/kg} = 4464\ \mathrm{N} \). Auf der Erde bleibt der Roboter mit 1765,8 N unter der Grenze von 2000 N, auf dem Jupiter überschreitet er sie mit 4464 N um mehr als das Doppelte. Antwortsatz: Gleiche Masse bedeutet nicht gleiche Gewichtskraft — auf dem Jupiter würde dieselbe Hebebühne überlastet. Als vollständig gilt die Antwort, wenn die zugelassene Grenze mit einer selbst gerechneten Gewichtskraft für den Jupiter verglichen und daraus ein klares Urteil gezogen wird.