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Feste und lose Rolle

Dieselbe runde Scheibe hilft dir auf zwei ganz verschiedene Weisen — je nachdem, ob sie oben fest hängt oder unten an der Last mitfährt.

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Blumenerde auf den Balkon

AFB I–II

Familie Ott schraubt einen Haken unter die Decke ihres Balkons und befestigt daran eine feste Rolle. Über die Rolle läuft ein Seil: An seinem einen Ende hängt ein Korb mit Blumenerde der Masse 8,0 kg, am anderen Ende zieht Frau Ott senkrecht nach unten. Der Korb soll vom Boden 3,2 m weit nach oben auf den Balkon gezogen werden. Rechnen Sie mit dem Ortsfaktor \(g = 9{,}81\,\text{N/kg}\). Die Reibung und die Masse der Rolle werden vernachlässigt.

  1. Nennen Sie, was die feste Rolle an der Zugkraft von Frau Ott verändert und was sie unverändert lässt.
  2. Bestimmen Sie die Zugkraft, die Frau Ott aufbringen muss, und die Länge des Seils, das sie dabei durch die Hände zieht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Eine Kraft hat zwei Eigenschaften: einen Betrag und eine Richtung. Prüfen Sie für beide getrennt, was sich ändert, wenn das Seil über die Rolle umgelenkt wird. Die Masse des Korbes brauchen Sie dafür noch nicht.Nennen verlangt nur die Aufzählung — eine ausführliche Begründung wird an dieser Stelle nicht erwartet.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechnen Sie die Masse zuerst mit \(F_G = m \cdot g\) in eine Gewichtskraft um. Überlegen Sie danach, ob die feste Rolle diesen Betrag verändert — und ob sie an der Länge des Seils etwas ändert, das durch die Hände läuft.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Eine feste Rolle hängt an einem festen Punkt und lenkt das Seil nur um. Antwort: Verändert wird allein die Richtung der Kraft — Frau Ott zieht nach unten, der Korb bewegt sich nach oben. Unverändert bleibt der Betrag der Kraft; er ist genauso groß wie die Gewichtskraft des Korbes, also \(F = F_G\). Antwortsatz: Die feste Rolle dreht die Richtung der Zugkraft um, ihren Betrag lässt sie gleich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(F_G = m \cdot g\); an der festen Rolle gilt \(F = F_G\), und der Seilweg ist genauso lang wie die Hubhöhe. Rechnung: \(F_G = 8{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{N/kg} = 78{,}48\,\text{N} \approx 78{,}5\,\text{N}\), also \(F = 78{,}5\,\text{N}\). Seilweg: \(s = 3{,}2\,\text{m}\). Ergebnis: 78,5 N und 3,2 m. Antwortsatz: Frau Ott muss mit rund 78,5 N senkrecht nach unten ziehen und zieht dabei 3,2 m Seil durch die Hände.

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Dachziegel aufs Gerüst

AFB II–III

Ein Dachdecker steht auf einem 6,0 m hohen Gerüst und will von dort ein Paket Dachziegel zu sich hochziehen. Das Paket enthält 25 Ziegel und hat die Masse 30 kg. Er kann entweder eine feste Rolle am Querbalken des Gerüsts befestigen oder eine lose Rolle in den Tragebügel des Pakets einhängen. Das Seil auf seiner Trommel ist 20 m lang, die Rolle selbst hat eine Masse von 0,4 kg. Dauerhaft bringt der Dachdecker etwa 200 N auf. Rechnen Sie mit dem Ortsfaktor \(g = 9{,}81\,\text{N/kg}\). Die Reibung und die Masse der Rolle werden vernachlässigt.

  1. Leiten Sie her, warum an einer losen Rolle nur die halbe Kraft nötig ist; gehen Sie dabei von den Seilstücken aus, an denen das Paket hängt.
  2. Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Dachdecker das Paket mit der losen Rolle allein hochziehen kann, mit der festen Rolle aber nicht.
  3. Beurteilen Sie, ob die lose Rolle für diese Baustelle die geeignete Lösung ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zeichnen Sie in Gedanken den Seilverlauf an der losen Rolle nach: Wie viele Seilstücke ziehen den Tragebügel nach oben? Nutzen Sie außerdem, dass die Zugkraft in einem durchgehenden Seil überall gleich groß ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Berechnen Sie zuerst die Gewichtskraft des Pakets. Vergleichen Sie dann für beide Aufbauten die nötige Zugkraft mit den 200 N, die der Dachdecker aufbringt. Nicht alle Angaben im Text werden gebraucht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Urteilen Sie nach drei Kriterien: Reicht die Kraft des Dachdeckers aus? Ist das Seil lang genug für den nötigen Seilweg? Und in welche Richtung muss er bei einer losen Rolle ziehen? Legen Sie sich am Ende auf ein klares Urteil fest.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Die lose Rolle hängt am Tragebügel der Last und wird mit angehoben; das Seil läuft von oben herunter, um die Rolle herum und wieder nach oben. Herleitung: Dadurch hängt das Paket an zwei Seilstücken. In einem durchgehenden Seil ist die Zugkraft überall gleich groß, also trägt jedes der beiden Seilstücke denselben Anteil \(F\). Zusammen tragen sie die Gewichtskraft: \(F + F = F_G\), somit \(2F = F_G\) und \(F = \frac{F_G}{2}\). Antwortsatz: Weil zwei gleich stark gespannte Seilstücke die Last gemeinsam tragen, genügt am Seilende die halbe Gewichtskraft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(F_G = m \cdot g\); feste Rolle \(F = F_G\), lose Rolle \(F = \frac{F_G}{2}\). Rechnung: \(F_G = 30\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{N/kg} = 294{,}3\,\text{N}\). Feste Rolle: \(F = 294{,}3\,\text{N}\). Lose Rolle: \(F = \frac{294{,}3\,\text{N}}{2} = 147{,}15\,\text{N} \approx 147\,\text{N}\). Vergleich: \(294{,}3\,\text{N} > 200\,\text{N}\), aber \(147\,\text{N} < 200\,\text{N}\). Antwortsatz: Mit der festen Rolle müsste der Dachdecker 294,3 N aufbringen und schafft das Paket allein nicht; mit der losen Rolle genügen rund 147 N und damit weniger als seine 200 N. Nicht gebraucht wurden die Anzahl der Ziegel und die Masse der Rolle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Erwartet wird ein klares Urteil, das sich auf mindestens zwei der drei Kriterien mit Zahlen stützt. Kraft: 147 N liegen deutlich unter den 200 N — dieses Kriterium ist erfüllt. Seilweg: Für 6,0 m Hubhöhe muss er \(2 \cdot 6{,}0\,\text{m} = 12{,}0\,\text{m}\) Seil ziehen, und die 20 m auf der Trommel reichen dafür aus. Zugrichtung: Bei einer losen Rolle allein läuft das freie Seilende nach oben, der Dachdecker müsste also über sich ziehen — auf dem Gerüst ist das unbequem und ohne einen zusätzlichen Umlenkpunkt kaum zu machen. Mögliches Urteil: Die lose Rolle ist geeignet, weil Kraft und Seillänge passen; in der Handhabung ist sie ohne Umlenkung aber ungünstig. Ebenso vertretbar: nicht geeignet, weil die Zugrichtung nach oben auf dem Gerüst nicht praktikabel ist. Als vollständig gilt eine Antwort, die ein Urteil nennt und es mit den berechneten 147 N und den 12,0 m Seilweg begründet.