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Experiment: Hookesches Gesetz

Aus vier Wertepaaren wird eine einzige Zahl, die eine Feder vollständig beschreibt — die Steigung der Ursprungsgeraden.

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Federversuch im Physikraum

AFB I–II

Mira hängt im Physikraum eine Schraubenfeder senkrecht an ein Stativ und stellt einen Maßstab daneben. Bei unbelasteter Feder liest sie die Nulllage des Federendes ab. Danach hängt sie nacheinander Massestücke an und notiert jedes Mal die Gewichtskraft und die zugehörige Dehnung: 1,0 N und 2,0 cm, 2,0 N und 4,0 cm, 3,0 N und 6,0 cm sowie 4,0 N und 8,0 cm.

  1. Bestimmen Sie für jede der vier Messzeilen den Quotienten aus Gewichtskraft und Dehnung.
  2. Deuten Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe a) im Hinblick darauf, wie die Messpunkte im F-s-Diagramm liegen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Teilen Sie in jeder Messzeile die Gewichtskraft durch die Dehnung und achten Sie darauf, welche Einheit das Ergebnis hat. Vergleichen Sie die vier Werte erst, wenn alle vier dastehen.Gefordert sind Lösungsweg und Ergebnis: also die Rechnung und der Wert mit Einheit, nicht nur eine Zahl.
Hinweis zu Aufgabe b)
Überlegen Sie zuerst, welcher Messpunkt zur unbelasteten Feder gehört. Fragen Sie sich dann, was ein in allen Zeilen gleicher Quotient für die Steigung einer Geraden bedeutet.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: In jeder Zeile den Quotienten \(\frac{F}{s}\) bilden. Rechnung: \(\frac{1{,}0\ \mathrm{N}}{2{,}0\ \mathrm{cm}} = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\); \(\frac{2{,}0\ \mathrm{N}}{4{,}0\ \mathrm{cm}} = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\); \(\frac{3{,}0\ \mathrm{N}}{6{,}0\ \mathrm{cm}} = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\); \(\frac{4{,}0\ \mathrm{N}}{8{,}0\ \mathrm{cm}} = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\). Antwortsatz: Der Quotient aus Gewichtskraft und Dehnung beträgt in allen vier Messzeilen 0,5 N/cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Quotient ist in jeder Zeile gleich groß, Gewichtskraft und Dehnung wachsen also im gleichen Verhältnis. Zur unbelasteten Feder gehört das Wertepaar 0 N und 0 cm, der Punkt \((0\ \mathrm{cm};\ 0\ \mathrm{N})\) gehört damit zur Messreihe. Die vier Messpunkte liegen deshalb auf einer Geraden durch den Ursprung, und deren Steigung ist der gemeinsame Quotient. Antwortsatz: Im F-s-Diagramm ergibt die Messreihe eine Ursprungsgerade mit der Steigung 0,5 N/cm; diese Steigung ist die Federkonstante der Feder.

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Zwei Federn im Werkraum

AFB II–III

Jonas prüft im Werkraum zwei Schraubenfedern. Feder A ist unbelastet 12,0 cm lang, Feder B 15,0 cm. An Feder A hängt er ein Massestück mit 300 g; danach ist die Feder 18,0 cm lang. An Feder B hängt er dasselbe Massestück; danach ist sie 17,0 cm lang. Der Maßstab am Stativ ist in halbe Millimeter geteilt, die Stativstange ist 75 cm hoch, und im Werkraum sind es 19 °C. Jonas rechnet mit dem Näherungswert g ≈ 10 N/kg.

  1. Ermitteln Sie für jede der beiden Federn die Federkonstante.
  2. Vergleichen Sie die beiden Federn hinsichtlich ihrer Federkonstante und des Verlaufs ihrer Geraden im F-s-Diagramm.
  3. Beurteilen Sie die Notiz, die Jonas in sein Heft schreibt: „Feder B ist die weichere der beiden Federn, weil sie unbelastet die längere ist.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nicht alle Angaben werden gebraucht: Raumtemperatur, Höhe der Stativstange und die Teilung des Maßstabs spielen hier keine Rolle. Beachten Sie, dass die Dehnung eine Differenz zweier Längen ist, und rechnen Sie zuerst die Gewichtskraft des Massestücks aus.
Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Federn tragen dieselbe Gewichtskraft. Fragen Sie sich, welche Feder je Zentimeter Dehnung mehr Kraft braucht, und was das für die Steigung ihrer Geraden bedeutet. Nennen Sie auch, was beide Geraden gemeinsam haben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfen Sie die Notiz an drei Kriterien: Welche Größe entscheidet darüber, ob eine Feder hart oder weich ist? Wo taucht die unbelastete Länge im F-s-Diagramm überhaupt auf? Und stützen Ihre eigenen Werte aus Teilaufgabe a) die Notiz oder widersprechen sie ihr?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Gewichtskraft \(F = m \cdot g\), Dehnung als Längendifferenz, Federkonstante \(D = \frac{F}{s}\). Rechnung: \(F = 0{,}300\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{N/kg} = 3{,}0\ \mathrm{N}\). Feder A: \(s_A = 18{,}0\ \mathrm{cm} - 12{,}0\ \mathrm{cm} = 6{,}0\ \mathrm{cm}\), also \(D_A = \frac{3{,}0\ \mathrm{N}}{6{,}0\ \mathrm{cm}} = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\). Feder B: \(s_B = 17{,}0\ \mathrm{cm} - 15{,}0\ \mathrm{cm} = 2{,}0\ \mathrm{cm}\), also \(D_B = \frac{3{,}0\ \mathrm{N}}{2{,}0\ \mathrm{cm}} = 1{,}5\ \mathrm{N/cm}\). Antwortsatz: Feder A hat die Federkonstante 0,5 N/cm, Feder B die Federkonstante 1,5 N/cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gemeinsam ist beiden Federn, dass Gewichtskraft und Dehnung im gleichen Verhältnis wachsen; im F-s-Diagramm gehört zu jeder von ihnen eine Ursprungsgerade. Unterschiedlich ist die Steigung: \(D_B = 1{,}5\ \mathrm{N/cm}\) ist dreimal so groß wie \(D_A = 0{,}5\ \mathrm{N/cm}\), denn \(\frac{1{,}5}{0{,}5} = 3\). Feder B braucht je Zentimeter Dehnung dreimal so viel Kraft, ihre Gerade verläuft also dreimal so steil. Antwortsatz: Beide Messreihen ergeben Ursprungsgeraden, doch die Gerade von Feder B ist dreimal so steil wie die von Feder A.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Notiz ist zurückzuweisen. (1) Über hart und weich entscheidet allein die Federkonstante, also die Kraft je Zentimeter Dehnung: Feder B hat mit 1,5 N/cm den größeren Wert und ist damit die härtere Feder. (2) Dieselbe Gewichtskraft von 3,0 N dehnt Feder B nur um 2,0 cm, Feder A dagegen um 6,0 cm — genau umgekehrt zu Jonas’ Behauptung. (3) Die unbelastete Länge kommt im F-s-Diagramm nicht vor; sie legt nur die Nulllage fest, von der aus die Dehnung gemessen wird, und sagt über die Steigung der Geraden nichts aus. Als vollständige Antwort gilt ein begründetes Urteil, das die Federkonstante als Entscheidungsgröße benennt, mindestens einen eigenen Zahlenwert aus Teilaufgabe a) als Beleg anführt und erklärt, warum die unbelastete Länge kein Maß für die Härte einer Feder ist.