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Geschwindigkeit und Diagramme

Ein Schulweg mit dem Fahrrad und eine Straßenbahnfahrt, die vollständig in einem Diagramm steckt — beides lässt sich in Zahlen fassen.

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Lenas Schulweg mit dem Fahrrad

AFB I–II

Lena fährt jeden Morgen mit dem Fahrrad zur Schule. Die Strecke von ihrer Haustür bis zum Schultor ist 3,6 km lang, und Lena braucht dafür 12 min. Sie muss auf dem Weg nicht anhalten.

  1. Nennen Sie die beiden Größen, aus denen die Geschwindigkeit berechnet wird, jeweils mit Formelzeichen und Einheit.
  2. Berechnen Sie Lenas Durchschnittsgeschwindigkeit für den Schulweg in m/s und in km/h.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Überlegen Sie, welche zwei Messwerte man bei jeder Geschwindigkeitsmessung überhaupt aufnehmen muss. Zu jeder Größe gehören ein Formelzeichen und eine Einheit.Nennen verlangt nur die Aufzählung — eine Erklärung oder eine Rechnung ist hier nicht gefordert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechnen Sie zuerst beide Angaben in die Einheiten Meter und Sekunde um, bevor Sie teilen. Für die Angabe in km/h brauchen Sie danach nur noch den Faktor 3,6.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gebraucht werden der zurückgelegte Weg \(s\) mit der Einheit Meter (m) und die dafür benötigte Zeit \(t\) mit der Einheit Sekunde (s). Aus beiden ergibt sich die Geschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}\) mit der Einheit m/s. Antwortsatz: Um eine Geschwindigkeit zu bestimmen, muss man den Weg s in m und die Zeit t in s kennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(v=\frac{s}{t}\). Umrechnung der gegebenen Werte: 3,6 km = 3600 m und 12 min = 12 · 60 s = 720 s. Rechnung: \(v=\frac{3600\ \text{m}}{720\ \text{s}}=5{,}0\ \text{m/s}\). Umrechnung in km/h: 5,0 · 3,6 = 18 km/h. Antwortsatz: Lena fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 5,0 m/s, das sind 18 km/h.

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Straßenbahn zwischen zwei Haltestellen

AFB II–III

Für die Fahrt einer Straßenbahn von der Haltestelle Marktplatz zur Haltestelle Klinikum wurde ein t-s-Diagramm aufgezeichnet. Der Graph lässt sich in drei Abschnitte zerlegen: In den ersten 20 s wird er immer steiler, danach verläuft er 60 s lang als Gerade, und in den letzten 20 s wird er wieder flacher, bis er waagerecht endet. Auf dem geraden Abschnitt legt die Bahn 900 m zurück. Insgesamt sind die beiden Haltestellen 1200 m voneinander entfernt, und die Fahrt dauert 100 s. Der Fahrplan sieht für diese Fahrt 2 min vor; die Bahn hat 42 Sitzplätze und vier Türen.

  1. Beschreiben Sie, wie sich die Straßenbahn in den drei Abschnitten des Diagramms bewegt.
  2. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit im geraden Abschnitt sowie die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt, jeweils in km/h.
  3. Beurteilen Sie die Aussage eines Fahrgastes: „Die Bahn war die ganze Fahrt über 43,2 km/h schnell.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achten Sie allein auf die Neigung des Graphen: Wird sie größer, bleibt sie gleich oder wird sie kleiner? Ordnen Sie jedem Abschnitt einen der Begriffe schneller werdend, gleichförmig und langsamer werdend zu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Im Text stehen mehr Angaben, als Sie brauchen. Prüfen Sie für jede Teilrechnung getrennt, welcher Weg zu welcher Zeitspanne gehört, und rechnen Sie erst am Ende in km/h um.
Hinweis zu Aufgabe c)
Urteilen Sie nach drei Kriterien: Was sagt eine Durchschnittsgeschwindigkeit überhaupt über einen einzelnen Augenblick aus? Wie verhält sich der Wert aus Teilaufgabe b) zum Wert des geraden Abschnitts? Und welche Geschwindigkeit hat die Bahn am Anfang und am Ende der Fahrt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Abschnitt 1 (0 s bis 20 s): Der Graph wird immer steiler, die Steigung nimmt zu — die Bahn fährt an und wird schneller. Abschnitt 2 (20 s bis 80 s): Der Graph ist eine Gerade, die Steigung bleibt gleich — die Bahn fährt gleichförmig, also mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Abschnitt 3 (80 s bis 100 s): Der Graph wird flacher und endet waagerecht — die Bahn wird langsamer und steht am Ende still. Antwortsatz: Die Bahn fährt an, fährt dann gleichförmig weiter und bremst zum Schluss bis zum Stillstand ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz in beiden Fällen: \(v=\frac{s}{t}\). Gerader Abschnitt: \(v=\frac{900\ \text{m}}{60\ \text{s}}=15\ \text{m/s}\), umgerechnet 15 · 3,6 = 54 km/h. Gesamte Fahrt: \(v=\frac{1200\ \text{m}}{100\ \text{s}}=12\ \text{m/s}\), umgerechnet 12 · 3,6 = 43,2 km/h. Die Fahrplanzeit von 2 min, die 42 Sitzplätze und die vier Türen werden nicht gebraucht. Antwortsatz: Auf dem geraden Abschnitt fährt die Bahn 54 km/h, über die ganze Fahrt beträgt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit 43,2 km/h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Begründung nach den drei Kriterien: (1) Die 43,2 km/h sind ein Durchschnittswert aus dem gesamten Weg und der gesamten Zeit; sie sagen nichts über einen einzelnen Augenblick aus. (2) Auf dem geraden Abschnitt ist die Bahn mit 54 km/h deutlich schneller als der Durchschnitt. (3) Am Anfang und am Ende der Fahrt steht die Bahn, dort ist v = 0. Als vollständige Antwort gilt: Aussage zurückweisen, den Unterschied zwischen Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit benennen und mindestens einen Zahlenwert aus dem Diagramm als Gegenbeispiel anführen — etwa die 54 km/h auf dem geraden Abschnitt.