MINT lernen

Maschen im Stromkreis

Zwei Aufgaben dazu, welche Rundwege es in einer Schaltung gibt und wie du sie in einem Schaltplan wiedererkennst.

1

Vier Umläufe auf dem Prüfstand

AFB I–II

Eine Schaltung besteht aus einer Batterie, einer gemeinsamen Zuleitung und zwei parallelen Zweigen mit den Lampen \(L_1\) und \(L_2\); hinter den Lampen laufen die Zweige wieder zusammen.

Vier Umläufe werden vorgeschlagen:

(1) Batterie → Zuleitung → \(L_1\) → Rückleitung → Batterie.
(2) Batterie → Zuleitung → \(L_2\) → Rückleitung → Batterie.
(3) Vom oberen Knoten über \(L_1\) zum unteren Knoten und über \(L_2\) wieder zurück zum oberen Knoten.
(4) Batterie → Zuleitung → \(L_1\) → und dort anhalten.

  1. Beschreiben Sie, was man in einem Stromkreis unter einer Masche versteht.
  2. Ordnen Sie jedem der vier Umläufe zu, ob er eine Masche bildet oder nicht, und geben Sie jeweils das Kriterium an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achten Sie auf zwei Bedingungen: Wo endet der Weg, und darf eine Stelle mehrfach durchlaufen werden?
Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfen Sie jeden Umlauf gegen genau diese Bedingungen. Ein Satz je Umlauf genügt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf durch einen Stromkreis: Man startet an einer Stelle, folgt den Leitungen über Bauteile hinweg und kommt zum Ausgangspunkt zurück, ohne dabei eine Leitung oder ein Bauteil zweimal zu benutzen.

Eine Masche muss nicht die Quelle enthalten – jeder geschlossene Rundweg zählt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

(1) Masche. Der Weg ist geschlossen und führt über die Quelle und \(L_1\) zurück zum Ausgangspunkt.

(2) Masche. Ebenso, nur über \(L_2\).

(3) Masche. Der Weg ist geschlossen, obwohl er die Batterie nicht enthält – er führt über die beiden Lampen und beide Knoten zurück zum Start.

(4) Keine Masche. Der Weg endet mitten in der Schaltung und kehrt nicht zum Ausgangspunkt zurück; er ist nicht geschlossen.

Kriterium: geschlossener Rundweg ohne doppelt benutzte Leitung.

2

Wie viele Maschen sind es?

AFB II–III

Für die Schaltung aus Aufgabe 1 behauptet Tim: „In einer Parallelschaltung gibt es genau zwei Maschen – eine für jeden Zweig.“

Später wird die Schaltung um einen dritten Zweig mit der Lampe \(L_3\) erweitert.

  1. Ermitteln Sie alle Maschen der Schaltung mit zwei Zweigen und geben Sie sie einzeln an.
  2. Erläutern Sie, warum ein Umlauf zum Ausgangspunkt zurückführen muss, damit sich die Spannungen sinnvoll bilanzieren lassen.
  3. Überprüfen Sie Tims Behauptung, auch im Hinblick auf die Schaltung mit drei Zweigen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gehen Sie systematisch vor: erst die Umläufe mit der Quelle, dann die ohne. Übersehen Sie den inneren Rundweg nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleichen Sie den Umlauf mit einem Rundgang im Gebirge: Wenn Sie am Ausgangspunkt wieder ankommen, wie groß ist dann der gesamte Höhenunterschied?
Hinweis zu Aufgabe c)
Zählen Sie zuerst die Maschen im Fall mit zwei Zweigen nach und danach im Fall mit drei Zweigen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Tims Zahl.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Es gibt drei Maschen:

M1: Batterie – Zuleitung – \(L_1\) – Rückleitung – Batterie.
M2: Batterie – Zuleitung – \(L_2\) – Rückleitung – Batterie.
M3: oberer Knoten – \(L_1\) – unterer Knoten – \(L_2\) – oberer Knoten (ohne Quelle).

Von diesen drei Maschen sind nur zwei voneinander unabhängig: M3 ergibt sich rechnerisch aus M1 und M2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Spannung gibt an, wie viel Energie eine Ladung auf einem Wegstück aufnimmt oder abgibt. Auf einem Umlauf erhält eine Ladung in der Quelle Energie und gibt sie in den Verbrauchern wieder ab.

Kommt sie am Ausgangspunkt an, so ist sie in genau demselben Zustand wie zu Beginn – aufgenommene und abgegebene Energie müssen sich also exakt aufheben. Daraus folgt die Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Quellenspannungen gleich der Summe der Teilspannungen an den Verbrauchern.

Bricht man den Weg dagegen mittendrin ab, so fehlt der Vergleichspunkt: Man weiß nicht, wie viel Energie der Ladung auf dem Reststück noch abverlangt wird, und kann nichts bilanzieren. Der Vergleich mit einem Rundgang passt: Nur wer zum Ausgangspunkt zurückkehrt, hat sicher den Höhenunterschied null.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Tims Behauptung hält der Prüfung nicht stand.

Bei zwei Zweigen: Es sind nicht zwei, sondern drei Maschen – Tim übersieht den inneren Rundweg M3 über beide Lampen ohne die Quelle. Richtig ist nur, dass sich alle Maschen aus zwei unabhängigen zusammensetzen lassen.

Bei drei Zweigen: Nun kommen die Umläufe über \(L_3\) hinzu: die drei Maschen mit der Quelle (über \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\)) und die drei inneren Rundwege \(L_1\)–\(L_2\), \(L_2\)–\(L_3\), \(L_1\)–\(L_3\) – also sechs. Die Zahl hängt somit von der Anzahl der Zweige ab und ist keine feste Eigenschaft „der Parallelschaltung“.

Richtige Fassung: In einer Parallelschaltung mit \(n\) Zweigen gibt es \(n\) unabhängige Maschen, aber mehr mögliche Umläufe. Für die Rechnung genügen die unabhängigen.