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Fazit: Knotenregel

Zwei Aufgaben dazu, was die Knotenregel im Sicherungskasten anrichtet und wie du sie in eigenen Schaltungen anwendest.

1

Zwei Knoten, zwei Lücken

AFB I–II

In einer Schaltung liegen zwei Knoten hintereinander.

Knoten 1: Zufluss \(1{,}20\,\mathrm{A}\). Abflüsse: \(0{,}50\,\mathrm{A}\) in den ersten Zweig und \(I_x\) in den zweiten Zweig.
Knoten 2: Zuflüsse \(I_x\) aus dem zweiten Zweig und zusätzlich \(0{,}40\,\mathrm{A}\) aus einer weiteren Leitung. Abfluss: \(I_y\) in die gemeinsame Rückleitung.

  1. Nennen Sie die Knotenregel in Worten und als Formel.
  2. Berechnen Sie die beiden fehlenden Stromstärken \(I_x\) und \(I_y\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Summen, ein Gleichheitszeichen – mehr braucht die Formel nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Arbeiten Sie die Knoten der Reihe nach ab: Das Ergebnis von Knoten 1 ist die Eingangsgröße für Knoten 2.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

In Worten: An jedem Knoten eines Stromkreises ist die Summe der zufließenden Stromstärken genauso groß wie die Summe der abfließenden Stromstärken. Ladung kann sich am Knoten weder ansammeln noch verloren gehen.

Als Formel: \(\sum I_{\text{zu}} = \sum I_{\text{ab}}\), im einfachen Fall einer Verzweigung also \(I = I_1 + I_2 + \dots\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Knoten 1: \(1{,}20\,\mathrm{A} = 0{,}50\,\mathrm{A} + I_x\)

\(I_x = 1{,}20\,\mathrm{A} - 0{,}50\,\mathrm{A} = 0{,}70\,\mathrm{A}\)

Knoten 2: \(I_y = I_x + 0{,}40\,\mathrm{A} = 0{,}70\,\mathrm{A} + 0{,}40\,\mathrm{A} = 1{,}10\,\mathrm{A}\)

Antwort: \(I_x = 0{,}70\,\mathrm{A}\) und \(I_y = 1{,}10\,\mathrm{A}\).

2

Die Verteilerdose im Flur

AFB II–III

In einer Verteilerdose zweigen von einer gemeinsamen Zuleitung drei Stromkreise ab: Küche, Wohnzimmer und Flur. Im Betrieb wurden dort die Stromstärken \(3{,}5\,\mathrm{A}\), \(6{,}2\,\mathrm{A}\) und \(4{,}1\,\mathrm{A}\) gemessen. Die Zuleitung ist mit einer Sicherung abgesichert, die über \(16\,\mathrm{A}\) auslöst.

Ein Bekannter schlägt vor, statt der einen Sicherung in der Zuleitung lieber jeden der drei Zweige einzeln abzusichern.

  1. Leiten Sie aus der Knotenregel her, wie viel zusätzliche Stromstärke in dieser Verteilerdose noch abgezweigt werden darf, bevor die Sicherung auslöst.
  2. Begründen Sie mit der Knotenregel, warum die Zuleitung dicker sein muss als jede einzelne Abzweigung.
  3. Diskutieren Sie den Vorschlag, jeden Zweig einzeln abzusichern.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimmen Sie zuerst die Stromstärke, die zurzeit durch die Zuleitung fließt, und vergleichen Sie sie mit der Auslöseschwelle.
Hinweis zu Aufgabe b)
Denken Sie an den Zusammenhang aus 3.0.3: Wovon hängt es ab, wie stark sich eine Leitung bei gegebener Stromstärke erwärmt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Sammeln Sie Argumente für und gegen den Vorschlag – denken Sie an Schutzwirkung, Fehlersuche, Bedienbarkeit und Kosten – und kommen Sie zu einem begründeten Ergebnis.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach der Knotenregel fließt durch die Zuleitung die Summe der abgehenden Stromstärken:

\(I = 3{,}5\,\mathrm{A} + 6{,}2\,\mathrm{A} + 4{,}1\,\mathrm{A} = 13{,}8\,\mathrm{A}\)

Bis zur Auslöseschwelle bleibt: \(\Delta I = 16{,}0\,\mathrm{A} - 13{,}8\,\mathrm{A} = 2{,}2\,\mathrm{A}\)

Antwort: Es dürfen höchstens weitere 2,2 A abgezweigt werden. Ein Wasserkocher mit 8,7 A (vgl. 1.0.1) würde die Sicherung sofort auslösen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach der Knotenregel trägt die Zuleitung immer die Summe aller Zweigströme – hier 13,8 A, während der stärkste einzelne Zweig nur 6,2 A führt.

Aus 3.0.3 ist bekannt: Je größer der Querschnitt einer Leitung, desto kleiner ihr Widerstand und desto weniger erwärmt sie sich bei gegebener Stromstärke. Da die Zuleitung die größte Stromstärke führt, braucht sie den größten Querschnitt – sonst würde gerade sie am heißesten.

Dasselbe Argument erklärt, warum die gemeinsame Zuleitung stets zuerst abgesichert wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für den Vorschlag: (1) Jeder Zweig wird passend zu seiner eigenen Leitung geschützt – auch dünne Abzweigungen sind dann sicher. (2) Bei einem Fehler fällt nur der betroffene Raum aus, die übrigen bleiben in Betrieb. (3) Die Fehlersuche ist einfacher, weil die ausgelöste Sicherung den Ort des Fehlers anzeigt.

Gegen den Vorschlag: (1) Mehr Sicherungen bedeuten höhere Kosten und mehr Platzbedarf im Verteiler. (2) Die Zuleitung bliebe ungeschützt, wenn man auf die Hauptsicherung verzichtete: Nach der Knotenregel könnten drei je 10 A führende Zweige zusammen 30 A durch sie treiben, ohne dass eine einzelne Zweigsicherung anspricht. (3) Für die Bewohner wird der Verteiler unübersichtlicher.

Ergebnis: Der Vorschlag ist sinnvoll, aber nur als Ergänzung. Fachlich richtig ist die Kombination: eine Sicherung in der Zuleitung, die diese vor der Summe der Ströme schützt, und zusätzlich je eine passende Sicherung pro Zweig. Genau so sind Hausinstallationen aufgebaut. Die Knotenregel liefert dafür die Begründung: Der gefährlichste Punkt ist immer die Stelle, an der alle Ströme zusammenlaufen.