Zwei Widerstände hintereinander
AFB I–IIIm Physikraum werden zwei Widerstände hintereinander an ein Netzgerät angeschlossen. Die Quelle liefert die Spannung \(U = 12\,\mathrm{V}\), die beiden Widerstände haben die Werte \(R_1 = 20\,\Omega\) und \(R_2 = 40\,\Omega\).
Zur Erinnerung: In einer Reihenschaltung gibt es nur einen einzigen Weg für den Strom. Der Ersatzwiderstand ist derjenige einzelne Widerstand, den man statt der ganzen Schaltung einbauen könnte, ohne dass die Quelle einen Unterschied merkt.
- Geben Sie an, welche Größe in dieser Schaltung an beiden Widerständen gleich groß ist und welche Größe sich auf die beiden Widerstände aufteilt.
- Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung, die Stromstärke und die beiden Teilspannungen \(U_1\) und \(U_2\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gleich groß ist die Stromstärke: Es gibt nur einen Strompfad, also fließt durch \(R_1\) genau derselbe Strom wie durch \(R_2\).
Auf die Widerstände aufteilen muss sich die Spannung: \(U = U_1 + U_2\). Am größeren Widerstand fällt dabei die größere Teilspannung ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ersatzwiderstand:
\(R_\mathrm{ges} = R_1 + R_2 = 20\,\Omega + 40\,\Omega = 60\,\Omega\)
Stromstärke:
\(I = \dfrac{U}{R_\mathrm{ges}} = \dfrac{12\,\mathrm{V}}{60\,\Omega} = 0{,}20\,\mathrm{A}\)
Teilspannungen (dieselbe Stromstärke an beiden Widerständen):
\(U_1 = R_1 \cdot I = 20\,\Omega \cdot 0{,}20\,\mathrm{A} = 4{,}0\,\mathrm{V}\)
\(U_2 = R_2 \cdot I = 40\,\Omega \cdot 0{,}20\,\mathrm{A} = 8{,}0\,\mathrm{V}\)
Antwort: Der Ersatzwiderstand beträgt 60 Ω, es fließt ein Strom von 0,20 A. Am 20-Ω-Widerstand fallen 4,0 V ab, am 40-Ω-Widerstand 8,0 V.
Probe: \(4{,}0\,\mathrm{V} + 8{,}0\,\mathrm{V} = 12\,\mathrm{V}\) — die Teilspannungen ergeben zusammen wieder die Quellenspannung. Der doppelt so große Widerstand bekommt die doppelte Spannung.
Vorwiderstand für eine LED
AFB II–IIIFür ein Modell im Technikunterricht soll eine rote Leuchtdiode an einer 9-V-Blockbatterie betrieben werden. Auf der Verpackung der LED steht: Betriebsspannung 2,0 V, Betriebsstrom 20 mA, Höchststrom 25 mA.
Schließt man die LED direkt an die Batterie an, brennt sie sofort durch. Deshalb wird ein Widerstand in Reihe dazugeschaltet — der sogenannte Vorwiderstand. Im Schulschrank liegen fertige Widerstände mit den Werten 220 Ω, 330 Ω, 390 Ω und 470 Ω; Zwischenwerte gibt es nicht.
- Erklären Sie, warum ein Widerstand in Reihe zur LED die Leuchtdiode schützt, ein Widerstand parallel dazu aber nicht.
- Ermitteln Sie den Widerstandswert, den der Vorwiderstand rechnerisch haben müsste, damit genau der Betriebsstrom von 20 mA fließt.
- Entscheiden Sie sich begründet für einen der vier vorhandenen Widerstände.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In der Reihenschaltung gibt es nur einen Strompfad: Derselbe Strom, der durch die LED fließt, muss auch durch den Vorwiderstand. Der Vorwiderstand nimmt einen Teil der Quellenspannung auf (\(U = U_\mathrm{V} + U_\mathrm{LED}\)) und begrenzt dadurch die Stromstärke im gesamten Zweig — also auch in der LED.
Parallel geschaltet läge der Widerstand neben der LED. An der LED läge dann weiterhin die volle Batteriespannung von 9,0 V, und der Widerstand würde nur einen zusätzlichen Strom an der LED vorbei ziehen. Der Strom durch die LED würde dadurch nicht kleiner — die LED brennt trotzdem durch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Spannung am Vorwiderstand (Reihenschaltung, die Teilspannungen ergeben zusammen die Quellenspannung):
\(U_\mathrm{V} = U - U_\mathrm{LED} = 9{,}0\,\mathrm{V} - 2{,}0\,\mathrm{V} = 7{,}0\,\mathrm{V}\)
Stromstärke umrechnen: \(I = 20\,\mathrm{mA} = 0{,}020\,\mathrm{A}\)
Widerstandswert:
\(R_\mathrm{V} = \dfrac{U_\mathrm{V}}{I} = \dfrac{7{,}0\,\mathrm{V}}{0{,}020\,\mathrm{A}} = 350\,\Omega\)
Antwort: Rechnerisch wären 350 Ω nötig. Diesen Wert gibt es im Schrank nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Prüfung der beiden nächstliegenden Werte (die LED nimmt sich weiterhin ihre 2,0 V, für den Widerstand bleiben 7,0 V):
330 Ω: \(I = \dfrac{7{,}0\,\mathrm{V}}{330\,\Omega} \approx 0{,}021\,\mathrm{A} = 21\,\mathrm{mA}\)
390 Ω: \(I = \dfrac{7{,}0\,\mathrm{V}}{390\,\Omega} \approx 0{,}018\,\mathrm{A} = 18\,\mathrm{mA}\)
Festlegung: Der 390-Ω-Widerstand wird eingebaut.
Begründung: Beide Werte bleiben unter dem Höchststrom von 25 mA, aber bei 330 Ω liegt der Strom mit 21 mA bereits über dem Betriebsstrom; Schwankungen der Batteriespannung oder eine warme LED verkleinern den Abstand zum Höchststrom weiter. Mit 390 Ω liegt die Stromstärke mit 18 mA sicher unterhalb des Betriebsstroms, und der Helligkeitsunterschied zu 20 mA ist mit dem Auge kaum wahrnehmbar. Sicherheit geht hier vor den letzten Prozent Helligkeit.
Ebenfalls vollständig: eine begründete Entscheidung für 330 Ω mit dem Argument, dass 21 mA noch deutlich unter 25 mA liegen und die LED heller leuchtet. Nicht ausreichend ist 220 Ω (\(I \approx 32\,\mathrm{mA}\), über dem Höchststrom) — und die reine Nennung eines Wertes ohne Rechnung und Begründung.