Zwei Widerstände nebeneinander
AFB I–IIAn eine Quelle mit \(U = 12\,\mathrm{V}\) werden zwei Widerstände nebeneinander angeschlossen: \(R_1 = 30\,\Omega\) und \(R_2 = 60\,\Omega\). Jeder von beiden hängt mit seinen zwei Enden direkt an den beiden Polen der Quelle.
Zur Erinnerung: Der Ersatzwiderstand ist der eine Widerstand, den man statt der ganzen Schaltung anschließen könnte, ohne dass sich für die Quelle etwas ändert.
- Beschreiben Sie, welche Größe an beiden Widerständen gleich groß ist und welche Größe sich auf die beiden Zweige aufteilt.
- Bestimmen Sie die beiden Teilströme, die Gesamtstromstärke und daraus den Ersatzwiderstand der Schaltung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gleich groß ist die Spannung: Beide Widerstände sind mit ihren Enden an denselben zwei Punkten angeschlossen, also liegen an beiden die vollen 12 V.
Aufteilen muss sich die Stromstärke: An der Verzweigung teilt sich der Gesamtstrom auf die beiden Zweige auf, \(I_\mathrm{ges} = I_1 + I_2\) (Knotenregel). Durch den kleineren Widerstand fließt dabei der größere Teilstrom.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Teilströme (an beiden Zweigen liegen 12 V):
\(I_1 = \dfrac{U}{R_1} = \dfrac{12\,\mathrm{V}}{30\,\Omega} = 0{,}40\,\mathrm{A}\)
\(I_2 = \dfrac{U}{R_2} = \dfrac{12\,\mathrm{V}}{60\,\Omega} = 0{,}20\,\mathrm{A}\)
Gesamtstrom: \(I_\mathrm{ges} = I_1 + I_2 = 0{,}40\,\mathrm{A} + 0{,}20\,\mathrm{A} = 0{,}60\,\mathrm{A}\)
Ersatzwiderstand:
\(R_\mathrm{ges} = \dfrac{U}{I_\mathrm{ges}} = \dfrac{12\,\mathrm{V}}{0{,}60\,\mathrm{A}} = 20\,\Omega\)
Antwort: Es fließen 0,40 A durch den 30-Ω-Widerstand und 0,20 A durch den 60-Ω-Widerstand, zusammen 0,60 A. Der Ersatzwiderstand beträgt 20 Ω.
Kontrolle über die Kehrwerte: \(\dfrac{1}{R_\mathrm{ges}} = \dfrac{1}{30\,\Omega} + \dfrac{1}{60\,\Omega} = \dfrac{3}{60\,\Omega}\), also \(R_\mathrm{ges} = 20\,\Omega\) — dasselbe Ergebnis. Auffällig: 20 Ω ist kleiner als jeder der beiden Einzelwiderstände.
Drei Geräte an einer Steckdosenleiste
AFB II–IIIIn einer Küche hängen Wasserkocher, Heizlüfter und Kaffeemaschine an einer Steckdosenleiste. Alle Steckdosen einer Wohnung sind parallel geschaltet, an jeder liegt die Netzspannung \(U = 230\,\mathrm{V}\). Der Stromkreis ist mit einer Sicherung abgesichert, die bei mehr als \(16\,\mathrm{A}\) auslöst.
Die drei Geräte haben im Betrieb die Widerstände \(R_1 = 23\,\Omega\) (Wasserkocher), \(R_2 = 46\,\Omega\) (Heizlüfter) und \(R_3 = 115\,\Omega\) (Kaffeemaschine).
Beim Frühstück laufen alle drei gleichzeitig. Ein Mitschüler meint dazu: „Das ist kein Problem — bei einer Parallelschaltung teilt sich der Strom ja auf. Je mehr Geräte man einsteckt, auf desto mehr Zweige verteilt er sich, also wird jeder einzelne Strom kleiner.“
- Erläutern Sie, warum der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung stets kleiner ist als der kleinste beteiligte Einzelwiderstand.
- Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Sicherung auslöst, wenn alle drei Geräte gleichzeitig laufen.
- Beurteilen Sie die Aussage des Mitschülers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
An jedem Zweig einer Parallelschaltung liegt dieselbe Spannung. Durch den kleinsten Widerstand fließt daher schon allein ein bestimmter Strom. Jeder weitere Zweig zieht zusätzlichen Strom, ohne dem ersten Zweig etwas wegzunehmen — der Gesamtstrom wird also größer.
Da die Spannung dabei unverändert bleibt, muss nach \(R_\mathrm{ges} = U / I_\mathrm{ges}\) der Ersatzwiderstand kleiner werden. Er liegt deshalb immer unter dem kleinsten Einzelwiderstand.
Anschaulich: Jeder zusätzliche Zweig ist eine weitere Fahrspur neben der bestehenden Straße. Mehr Spuren bedeuten mehr Durchlass, also weniger Widerstand — auch dann, wenn die neue Spur schmaler ist als die alte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Teilströme (an jedem Gerät liegen 230 V):
\(I_1 = \dfrac{230\,\mathrm{V}}{23\,\Omega} = 10\,\mathrm{A}\)
\(I_2 = \dfrac{230\,\mathrm{V}}{46\,\Omega} = 5{,}0\,\mathrm{A}\)
\(I_3 = \dfrac{230\,\mathrm{V}}{115\,\Omega} = 2{,}0\,\mathrm{A}\)
Strom in der Zuleitung: \(I_\mathrm{ges} = 10\,\mathrm{A} + 5{,}0\,\mathrm{A} + 2{,}0\,\mathrm{A} = 17\,\mathrm{A}\)
Vergleich: \(17\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}\) — die Sicherung löst aus.
Ergänzend (Ersatzwiderstand der ganzen Küche): \(R_\mathrm{ges} = \dfrac{230\,\mathrm{V}}{17\,\mathrm{A}} \approx 13{,}5\,\Omega\) — kleiner als die 23 Ω des Wasserkochers, obwohl er das „stärkste“ Gerät ist.
Antwort: Laufen alle drei Geräte gleichzeitig, fließen in der Zuleitung 17 A. Das liegt über dem Auslösewert von 16 A, die Sicherung schaltet den Stromkreis ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Was richtig ist: Der Strom teilt sich an der Verzweigung tatsächlich auf die Zweige auf, und die Teilströme sind kleiner als der Gesamtstrom (Knotenregel).
Was falsch ist: Der Schluss, dass die Ströme durch weitere Geräte kleiner werden. Der Mitschüler denkt sich den Gesamtstrom als feste Menge, die aufgeteilt wird. Tatsächlich ist es umgekehrt: Fest vorgegeben ist die Spannung von 230 V. Jedes Gerät zieht den Strom, der zu seinem eigenen Widerstand gehört — unabhängig davon, was sonst noch eingesteckt ist. Der Wasserkocher zieht seine 10 A auch dann, wenn Heizlüfter und Kaffeemaschine dazukommen. Die Ströme addieren sich also in der Zuleitung.
Urteil: Die Aussage ist in ihrer Schlussfolgerung falsch und in dieser Situation gefährlich. Gerade weil sich die Teilströme addieren, wird die gemeinsame Zuleitung mit jedem zusätzlichen Gerät stärker belastet — die Rechnung aus b) zeigt das mit 17 A. Ohne Sicherung würde sich die Leitung erwärmen; die Sicherung verhindert genau diesen Fall.
Als vollständig gilt: Zuordnung des richtigen und des falschen Teils der Aussage, die Begründung über die feste Spannung, ein Bezug auf die Rechnung aus b) und ein klar formuliertes Urteil.