Übung — AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren)

Musterlösung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nach ihrer Definition Gesamtstrecke geteilt durch Gesamtzeit und nicht der Mittelwert der Einzelwerte. Für die langsame Teilstrecke braucht man mehr Zeit als für die schnelle, deshalb prägt die langsame Phase das Ergebnis stärker. Im Beispiel dauert der erste Abschnitt 1 h, der zweite nur 20 min; für 20 km ist man also 1 h 20 min unterwegs und kommt auf 15 km/h. Der Mittelwert 20 km/h wäre nur dann richtig, wenn beide Geschwindigkeiten gleich lange gefahren würden.

Musterlösung: In beiden Diagrammen bedeutet „waagerecht“, dass sich die Größe auf der Hochachse nicht ändert — nur ist es jeweils eine andere Größe. Im t-s-Diagramm steht dort der Ort s: Bleibt s gleich, ändert der Körper seinen Ort nicht, er macht also Pause. Im t-v-Diagramm steht dort die Geschwindigkeit v: Bleibt v gleich, fährt der Körper mit unverändertem Tempo weiter, die Bewegung ist gleichförmig. Nur wenn die waagerechte Linie im t-v-Diagramm genau auf der Höhe v = 0 verläuft, bedeutet sie ebenfalls Stillstand.

Musterlösung: Während der Schrecksekunde fährt das Auto mit unveränderter Geschwindigkeit weiter; für diese Strecke gilt s = v · t mit fester Zeit, sie wächst also genau proportional zu v — doppeltes Tempo, doppelter Reaktionsweg. Beim Bremsen wirkt die Geschwindigkeit dagegen zweifach: Das Auto ist schneller unterwegs und braucht zugleich länger, bis es steht. Deshalb steht v in der Faustformel für den Bremsweg zweimal als Faktor, und aus dem doppelten Wert wird das Vierfache. Die Zahlen bestätigen das: 25 m bei 50 km/h gegenüber 100 m bei 100 km/h, während der Reaktionsweg nur von 15 m auf 30 m steigt.

Musterlösung: In der Physik bedeutet Bewegung, dass ein Körper seinen Ort gegenüber einem Bezugspunkt ändert. Ein Fahrgast im Zug ändert seinen Ort gegenüber dem Bahnsteig fortwährend; von dort aus gesehen bewegt er sich mit der Geschwindigkeit des Zuges. Gegenüber seinem Sitz und den Mitreisenden bleibt sein Ort dagegen gleich, dort ruht er. Beide Aussagen sind richtig und widersprechen sich nur scheinbar, weil sie verschiedene Bezugspunkte benutzen. Eine Bewegungsangabe ohne Bezugspunkt ist deshalb unvollständig und lässt sich weder bestätigen noch widerlegen.

Musterlösung: Für den Messversuch eignet sich die Wertetabelle am besten, denn sie hält jedes Wertepaar aus Zeit und Strecke exakt und in der Reihenfolge der Messung fest, ohne dass etwas gedeutet oder geglättet wird. Den Verlauf einer Fahrt erfasst man dagegen am schnellsten im Diagramm, weil steile und flache Abschnitte, Pausen und Tempowechsel dort unmittelbar ins Auge fallen. Zwischenwerte berechnet man am sichersten mit der Gleichung, etwa mit s = v · t, denn sie liefert zu jeder beliebigen Zeit einen Wert, auch wenn er nie gemessen wurde. Worte sind für alle drei Zwecke zu ungenau, dafür aber die beste Form, um jemandem die Bewegung überhaupt erst zu schildern.

Musterlösung: Der Behauptung kann man nicht zustimmen. Jede einzelne Zeitmessung enthält zufällige Fehler: Man drückt die Stoppuhr etwas zu früh oder zu spät, und die Startmarke wird nie exakt getroffen. Bei nur einem Wert lässt sich nicht erkennen, wie groß diese Abweichung ausgefallen ist — das Ergebnis kann weit danebenliegen, ohne dass es auffällt. Misst man dagegen fünfmal, streuen die Werte um den wahren Wert, der Mittelwert gleicht die zufälligen Abweichungen zum großen Teil aus, und an der Streuung erkennt man zusätzlich, wie genau die Messung überhaupt ist. Auch ein grober Ausreißer zeigt sich erst im Vergleich mit den übrigen Messungen. Für eine grobe Abschätzung mag ein einzelner Wert genügen, für ein belastbares Ergebnis nicht.

Musterlösung: Die Aussage passt zur Definition. Gleichförmig heißt nur, dass sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert; welchen Wert sie dabei hat, bleibt offen. Auch v = 0 ist ein solcher gleichbleibender Wert, deshalb ist der ruhende Körper der Grenzfall der gleichförmigen Bewegung: Im t-s-Diagramm gehört dazu eine waagerechte Gerade, im t-v-Diagramm eine waagerechte Gerade auf der Höhe null. Physikalisch ist die Aussage damit richtig; im Alltag spricht man in diesem Fall allerdings nicht von einer Bewegung, sondern von Stillstand.

Musterlösung: Die Faustregel lautet: Im t-v-Diagramm entscheidet allein die Richtung des Graphen. Steigt die Linie, wird die Geschwindigkeit größer, das Fahrzeug beschleunigt. Fällt sie, wird die Geschwindigkeit kleiner, das Fahrzeug bremst. Verläuft sie waagerecht, bleibt die Geschwindigkeit gleich und die Bewegung ist gleichförmig. Wie stark beschleunigt oder gebremst wird, verrät die Steilheit, denn die Steigung im t-v-Diagramm ist die Beschleunigung a = Δv : Δt. Im genannten Beispiel fällt der Graph in Δt = 10 s um Δv = 20 m/s; das ergibt a = 20 m/s : 10 s = 2 m/s², und weil der Graph fällt, handelt es sich um ein Abbremsen.

Musterlösung: Die Behauptung ist falsch. Der Tacho zeigt die Momentangeschwindigkeit, also den Wert in genau dem Augenblick des Ablesens; die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich dagegen aus Gesamtstrecke geteilt durch Gesamtzeit, wobei Pausen voll mitzählen. Als Gegenbeispiel genügt folgende Fahrt: eine halbe Stunde mit 60 km/h, das sind 30 km, danach eine halbe Stunde Stillstand im Stau, und beim Anfahren zeigt der Tacho erneut 60 km/h. Insgesamt sind das 30 km in 1 h, also nur 30 km/h im Durchschnitt — halb so viel wie der Tachowert. Ein einzelner Anzeigewert sagt deshalb nichts über die gesamte Fahrt aus.

Musterlösung: 36 km/h bedeutet, dass in einer Stunde 36 km zurückgelegt werden. Setzt man die Einheiten ein, sind das 36 · 1000 m = 36 000 m in 3600 s. Die Division ergibt 36 000 m : 3600 s = 10 m/s, es handelt sich also wirklich um dieselbe Geschwindigkeit, nur anders aufgeschrieben. Der Faktor 3,6 entsteht dabei genau aus 3600 s : 1000 m, also aus dem Verhältnis der beiden Einheitenumrechnungen; deshalb gilt allgemein: von km/h nach m/s durch 3,6 teilen, von m/s nach km/h mit 3,6 malnehmen. Zur Kontrolle kann man dieselbe Aussage in Worten prüfen: Wer in jeder Sekunde 10 m schafft, kommt in 3600 Sekunden auf 36 000 m, also auf 36 km in einer Stunde.