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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Situationen aus Alltag, Sport und Labor — hier reicht das Einsetzen in eine Formel nicht mehr: erst die Situation übersetzen, dann rechnen, dann umrechnen, umstellen oder vergleichen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Radtour mit Pause — der Durchschnitt über die ganze Tour
AFB II

Lena fährt mit dem Rad von zu Hause zum See. Für die ersten 12 km braucht sie 40 min. Am See macht sie 20 min Pause und isst ihr Brot. Danach fährt sie in 30 min noch 9 km bis zur Badestelle auf der anderen Seeseite.

a) Wie groß ist Lenas Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem ersten Abschnitt in km/h? b) Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Tour vom Losfahren bis zur Badestelle — die Pause zählt mit.

km/h
km/h
Ansatz: Es gilt immer v = s : t. Für den ersten Abschnitt setzt du nur die Werte dieses Abschnitts ein. Für die ganze Tour brauchst du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit — und Pausenzeit ist auch Zeit. Rechne die Zeiten vorher in Stunden um.
Rechenweg: 40 min = 2/3 h, also v1 = 12 km : 2/3 h = 18 km/h. Für die ganze Tour: s = 12 km + 9 km = 21 km und t = 40 min + 20 min + 30 min = 90 min = 1,5 h. Damit vges = 21 km : 1,5 h.
Lösung: a) v1 = 18 km/h. b) vges = 14 km/h.
Vollständige Lösung
Erster Abschnitt: 40 min sind 2/3 h, also v1 = 12 km : 2/3 h = 18 km/h. Ganze Tour: s = 12 km + 9 km = 21 km, t = 90 min = 1,5 h, also vges = 21 km : 1,5 h = 14 km/h. Antwort: Auf dem ersten Abschnitt war Lena mit 18 km/h unterwegs, über die ganze Tour gerechnet nur mit 14 km/h. Hinweis: Auf dem zweiten Abschnitt fährt Lena mit 9 km in 30 min ebenfalls 18 km/h — trotzdem liegt der Durchschnitt bei 14 km/h, weil die Pause mitzählt. Genau so rechnet ein Navigationsgerät die Ankunftszeit: Standzeit ist verlorene Zeit.
A2
Zug zwischen zwei Bahnhöfen — ein Tempo, zwei Einheiten
AFB II

Ein Regionalzug fährt um 9:10 Uhr in Altstadt ab und hält um 9:40 Uhr in Neudorf. Die Strecke zwischen beiden Bahnhöfen ist 45 km lang, dazwischen hält der Zug nicht.

a) Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges in km/h. b) Gib dieselbe Geschwindigkeit in m/s an.

km/h
m/s
Ansatz: Lies zuerst die Fahrzeit aus den beiden Uhrzeiten ab und rechne sie in Stunden um. Dann v = s : t. Für die zweite Einheit brauchst du den Umrechnungsfaktor 3,6: von km/h nach m/s wird geteilt.
Rechenweg: t = 9:40 Uhr − 9:10 Uhr = 30 min = 0,5 h. v = 45 km : 0,5 h = 90 km/h. Umrechnung: 90 km/h : 3,6 = 25 m/s.
Lösung: a) v = 90 km/h. b) v = 25 m/s.
Vollständige Lösung
Die Fahrzeit beträgt 30 min = 0,5 h. Damit ist v = 45 km : 0,5 h = 90 km/h. Geteilt durch 3,6 ergibt das 25 m/s. Antwort: Der Zug fährt im Mittel 90 km/h, das sind 25 m/s. Hinweis: Zur Kontrolle hilft eine einfache Regel: Die Zahl in km/h ist immer größer als die Zahl in m/s. Wer statt zu teilen mit 3,6 multipliziert, landet bei 324 m/s — schneller als der Schall, und damit offensichtlich falsch.
A3
Schwimmerin auf 50-m-Bahnen
AFB II

Mia schwimmt im 50-m-Becken ihr Trainingsprogramm: 12 Bahnen am Stück. Sie startet die Uhr beim Abstoßen und stoppt sie nach genau 8 min beim Anschlag.

a) Berechne Mias Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s. b) Rechne das Ergebnis in km/h um und vergleiche es mit dem Schritttempo eines Fußgängers (etwa 5 km/h).

m/s
km/h
Ansatz: Die zurückgelegte Strecke steht nicht direkt da: Eine Bahn ist 50 m lang, also musst du erst die Anzahl der Bahnen mit der Bahnlänge multiplizieren. Die Zeit gehört für m/s in Sekunden. Für km/h wird anschließend mit 3,6 multipliziert.
Rechenweg: s = 12 · 50 m = 600 m; t = 8 · 60 s = 480 s. v = 600 m : 480 s = 1,25 m/s. Umrechnung: 1,25 m/s · 3,6 = 4,5 km/h.
Lösung: a) v = 1,25 m/s. b) v = 4,5 km/h — etwas langsamer als ein Fußgänger.
Vollständige Lösung
Mia legt s = 12 · 50 m = 600 m in t = 480 s zurück. Also v = 600 m : 480 s = 1,25 m/s, umgerechnet 1,25 · 3,6 = 4,5 km/h. Antwort: Mia schwimmt im Mittel 1,25 m/s, also 4,5 km/h und damit knapp langsamer als ein gemütlich gehender Fußgänger. Hinweis: Beim Wenden wird Mia kurz langsamer, mitten auf der Bahn ist sie schneller als 1,25 m/s. Der berechnete Wert ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, nicht die Momentangeschwindigkeit an einer einzelnen Stelle.
A4
Aufzug im Hochhaus — vom Tempo zur Stockwerkszahl
AFB II

Ein Aufzug fährt mit gleichbleibenden 1,5 m/s nach oben; Anfahren und Bremsen lassen wir hier außer Acht. Vom Start im Erdgeschoss bis zum Halt vergehen 12 s. In diesem Haus ist jedes Stockwerk 3 m hoch.

a) Ermittle, welche Höhe der Aufzug in dieser Zeit zurücklegt. b) Leite daraus ab, in welchem Stockwerk der Aufzug hält (Erdgeschoss = 0).

m
über EG
Ansatz: Gesucht ist die Strecke, gegeben sind Geschwindigkeit und Zeit. Stelle v = s : t nach s um: s = v · t. Im zweiten Schritt teilst du die Höhe durch die Höhe eines Stockwerks.
Rechenweg: s = 1,5 m/s · 12 s = 18 m. Anzahl der Stockwerke: 18 m : 3 m = 6.
Lösung: a) s = 18 m. b) Der Aufzug hält im 6. Stockwerk.
Vollständige Lösung
Aus v = s : t folgt s = v · t = 1,5 m/s · 12 s = 18 m. Ein Stockwerk misst 3 m, also 18 m : 3 m = 6. Antwort: Der Aufzug fährt 18 m hoch und hält im 6. Stockwerk. Hinweis: Achte auf den Bezugspunkt: Gegenüber der Kabine bewegst du dich während der Fahrt überhaupt nicht, gegenüber dem Treppenhaus dagegen mit 1,5 m/s. Ob etwas in Bewegung ist, hängt immer davon ab, worauf man sich bezieht.
A5
Wanderung in zwei Abschnitten — bergauf und bergab
AFB II

Eine Wandergruppe geht bergauf zur Hütte: 8 km in 2 h. Auf einem kürzeren Weg geht sie bergab wieder ins Tal: 7 km in 1 h. Pausen macht die Gruppe unterwegs keine.

a) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Weg bergauf? b) Bestätige oder widerlege durch Rechnung, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Wanderung 5,5 km/h beträgt — gib den richtigen Wert an.

km/h
km/h
Ansatz: Für den Aufstieg genügt v = s : t mit den Werten dieses Abschnitts. Für die ganze Wanderung darfst du nicht die beiden Abschnittsgeschwindigkeiten mitteln, sondern musst wieder Gesamtstrecke durch Gesamtzeit rechnen.
Rechenweg: Bergauf: vbergauf = 8 km : 2 h = 4 km/h. Bergab: 7 km : 1 h = 7 km/h. Gesamt: s = 8 km + 7 km = 15 km, t = 2 h + 1 h = 3 h, also vges = 15 km : 3 h.
Lösung: a) vbergauf = 4 km/h. b) vges = 5 km/h — die Behauptung 5,5 km/h ist falsch.
Vollständige Lösung
Bergauf gilt vbergauf = 8 km : 2 h = 4 km/h, bergab 7 km : 1 h = 7 km/h. Für die gesamte Wanderung: vges = 15 km : 3 h = 5 km/h. Antwort: Die Gruppe steigt mit 4 km/h auf; im Mittel über die ganze Wanderung ist sie 5 km/h schnell, nicht 5,5 km/h. Hinweis: Der Mittelwert der beiden Zahlen (4 + 7) : 2 = 5,5 km/h wäre nur richtig, wenn beide Abschnitte gleich lange dauern würden. Hier dauert der langsame Abschnitt doppelt so lang und zieht den Durchschnitt nach unten.
A6
Zwei Fahrzeuge im t-v-Diagramm
AFB II

In einem t-v-Diagramm sind zwei Fahrzeuge eingetragen. Der Graph von Auto A steigt geradlinig von (0 s | 0 m/s) bis (8 s | 20 m/s) und verläuft danach waagerecht bei 20 m/s. Der Graph von Motorrad B steigt geradlinig von (0 s | 0 m/s) bis (5 s | 15 m/s).

a) Wie groß ist die Beschleunigung von Auto A in der Anfahrphase? b) Vergleiche beide Fahrzeuge: Um wie viel m/s² beschleunigt Motorrad B stärker als Auto A?

m/s²
m/s²
Ansatz: Im t-v-Diagramm ist die Steigung des Graphen die Beschleunigung: a = Δv : Δt. Bilde für jedes Fahrzeug ein Steigungsdreieck aus den beiden genannten Punkten und ziehe die Ergebnisse zum Schluss voneinander ab.
Rechenweg: Auto A: aA = 20 m/s : 8 s = 2,5 m/s². Motorrad B: aB = 15 m/s : 5 s = 3 m/s². Unterschied: 3 m/s² − 2,5 m/s² = 0,5 m/s².
Lösung: a) aA = 2,5 m/s². b) Δa = 0,5 m/s² (B beschleunigt stärker).
Vollständige Lösung
Das Steigungsdreieck von A reicht über Δt = 8 s und Δv = 20 m/s, also aA = 20 m/s : 8 s = 2,5 m/s². Für B gilt aB = 15 m/s : 5 s = 3 m/s². Die Differenz beträgt 0,5 m/s². Antwort: Motorrad B beschleunigt um 0,5 m/s² stärker, obwohl es die kleinere Endgeschwindigkeit erreicht. Hinweis: Der waagerechte Teil von As Graph verführt zum Fehlschluss „Auto A steht“. Im t-v-Diagramm bedeutet waagerecht aber konstantes Tempo; Stillstand liegt nur bei v = 0 vor. Waagerecht = Pause gilt allein im t-s-Diagramm.
A7
Lichtschrankenmessung im Physikraum
AFB II

Auf einem Rollwagen ist eine 10 cm breite Fahne befestigt. Beim Durchfahren einer Lichtschranke ist der Lichtstrahl 0,05 s lang unterbrochen. Der Wagen rollt auf der ganzen Bahn gleichförmig weiter.

a) Bestimme die Geschwindigkeit des Wagens in m/s. b) Berechne, wie lange der Wagen bei diesem Tempo für die 1,2 m bis zum Bahnende braucht.

m/s
s
Ansatz: Die Strecke, die der Wagen während der Unterbrechung zurücklegt, ist genau die Breite der Fahne — vorher in Meter umrechnen. Dann v = s : t. Für Teil b) stellst du dieselbe Gleichung nach der Zeit um: t = s : v.
Rechenweg: s = 10 cm = 0,1 m; v = 0,1 m : 0,05 s = 2 m/s. Restweg: t = 1,2 m : 2 m/s = 0,6 s.
Lösung: a) v = 2 m/s. b) t = 0,6 s.
Vollständige Lösung
Die Fahne ist 0,1 m breit, also v = 0,1 m : 0,05 s = 2 m/s. Umgestellt nach der Zeit: t = s : v = 1,2 m : 2 m/s = 0,6 s. Antwort: Der Wagen ist 2 m/s schnell und braucht für die restlichen 1,2 m noch 0,6 s. Hinweis: Weil die Fahne sehr schmal ist, misst die Lichtschranke fast an einer einzigen Stelle — das Ergebnis kommt der Momentangeschwindigkeit sehr nahe. Der häufigste Fehler ist, die 10 cm als 10 m einzusetzen und so das Hundertfache zu erhalten.
A8
Anfahren eines Busses an der Haltestelle
AFB II

Ein Linienbus fährt an der Haltestelle los und erreicht nach 10 s gleichmäßig beschleunigt eine Geschwindigkeit von 36 km/h.

a) Bestimme die Beschleunigung des Busses in m/s². b) Weise nach, welche Strecke der Bus in diesen 10 s zurücklegt.

m/s²
m
Ansatz: Die Beschleunigung wird in m/s² angegeben — rechne die Endgeschwindigkeit zuerst von km/h in m/s um. Dann a = Δv : Δt. Für den Weg beim Beschleunigen aus dem Stand gilt s = ½ · a · t².
Rechenweg: 36 km/h : 3,6 = 10 m/s. a = 10 m/s : 10 s = 1 m/s². Weg: s = ½ · 1 m/s² · (10 s)² = ½ · 100 m = 50 m.
Lösung: a) a = 1 m/s². b) s = 50 m.
Vollständige Lösung
36 km/h entsprechen 10 m/s. Damit ist a = Δv : Δt = 10 m/s : 10 s = 1 m/s². Für den Weg gilt s = ½ · a · t² = ½ · 1 m/s² · 100 s² = 50 m. Antwort: Der Bus beschleunigt mit 1 m/s² und legt dabei 50 m zurück. Hinweis: Mit den vollen 10 m/s käme man auf 100 m — das wäre genau doppelt so viel. Der Bus ist aber erst am Ende so schnell, im Mittel nur halb so schnell; daher der Faktor ½. Für die Haltestellenplanung heißt das: schon 50 m nach dem Losfahren hat der Bus Stadttempo.
A9
Wurf im Sportunterricht — aus der Videoanalyse
AFB II

Ein Handball wird geworfen. In der Videoanalyse fliegt er auf den ersten 24 m nahezu geradlinig und braucht dafür 0,8 s.

a) Berechne die Abwurfgeschwindigkeit des Balls in m/s. b) Rechne den Wert in km/h um und ordne ihn ein: Ist der Ball schneller als ein Auto, das mit 100 km/h über die Landstraße fährt?

m/s
km/h
Ansatz: Auf dem geradlinigen Stück kannst du mit v = s : t rechnen. Für den Vergleich mit dem Auto brauchst du dieselbe Einheit — von m/s nach km/h wird mit 3,6 multipliziert.
Rechenweg: v = 24 m : 0,8 s = 30 m/s. Umrechnung: 30 m/s · 3,6 = 108 km/h. Vergleich: 108 km/h > 100 km/h.
Lösung: a) v = 30 m/s. b) v = 108 km/h — der Ball ist schneller als das Auto.
Vollständige Lösung
v = 24 m : 0,8 s = 30 m/s, umgerechnet 30 · 3,6 = 108 km/h. Antwort: Der Ball fliegt mit 30 m/s, also 108 km/h, und ist damit schneller als ein Auto mit 100 km/h. Hinweis: Vergleichen kann man nur in derselben Einheit — 30 und 100 direkt gegenüberzustellen führt in die Irre. In Wirklichkeit wird der Ball durch die Luft langsamer, der berechnete Wert ist also ein Durchschnitt über die ersten 24 m.
A10
Gewitter — Entfernung aus der Zeit zwischen Blitz und Donner
AFB II

Schall breitet sich in Luft mit rund 340 m/s aus, das Licht des Blitzes erreicht dich praktisch ohne Verzögerung. Bei einem Gewitter zählst du zwischen Blitz und Donner 6 s.

a) Wie weit ist das Gewitter entfernt? b) Ein zweites Gewitter steht 1,7 km entfernt. Ermittle, wie viele Sekunden du dort zwischen Blitz und Donner zählst.

m
s
Ansatz: Die Laufzeit des Schalls ist die gezählte Zeit. Aus v = s : t folgt für die Entfernung s = v · t. Für Teil b) stellst du dieselbe Gleichung nach t um und rechnest die Entfernung vorher von Kilometern in Meter um.
Rechenweg: s = 340 m/s · 6 s = 2040 m (rund 2 km). Umgestellt: t = s : v = 1700 m : 340 m/s = 5 s.
Lösung: a) s = 2040 m, also etwa 2 km. b) t = 5 s.
Vollständige Lösung
Mit s = v · t = 340 m/s · 6 s ergibt sich 2040 m, also knapp 2 km. Für 1,7 km = 1700 m gilt t = 1700 m : 340 m/s = 5 s. Antwort: Das erste Gewitter ist rund 2 km entfernt; beim zweiten zählst du 5 s zwischen Blitz und Donner. Hinweis: Daraus stammt die bekannte Faustregel „drei Sekunden sind etwa ein Kilometer“ (340 m/s · 3 s = 1020 m). Wer 1,7 km ohne Umrechnung einsetzt, teilt Kilometer durch m/s und erhält ein tausendfach zu kleines Ergebnis.