Mit dem Skateboard über den Schulhof
AFB I–IIDie Fahrt eines Skateboarders über den Schulhof ist in einem Zeit-Weg-Diagramm aufgezeichnet (\(t\) in Sekunden, \(s\) in Metern). Der Graph ist eine einzige Gerade und verläuft durch die Punkte (0 s | 0 m), (4 s | 24 m) und (10 s | 60 m). Ein Kästchen entspricht auf der Zeitachse 1 s und auf der Wegachse 6 m.
- Zeichnen Sie in eine Skizze des Graphen ein Steigungsdreieck zwischen (4 s | 24 m) und (10 s | 60 m) ein und beschriften Sie beide Katheten mit Zahl und Einheit.
- Beschreiben Sie, in welchen Schritten Sie dabei vorgegangen sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: Die beiden gegebenen Punkte sind die Eckpunkte der schrägen Seite. Vom Punkt (4 s | 24 m) aus wird eine waagerechte Linie bis (10 s | 24 m) gezogen, von dort eine senkrechte Linie bis (10 s | 60 m). Kathetenlängen: waagerecht \(10\ \text{s} - 4\ \text{s} = 6\ \text{s}\), senkrecht \(60\ \text{m} - 24\ \text{m} = 36\ \text{m}\). Antwort: Das Dreieck wird an der waagerechten Kathete mit „6 s“ und an der senkrechten mit „36 m“ beschriftet; der rechte Winkel liegt bei (10 s | 24 m).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Schritt 1: geraden Abschnitt ohne Knick suchen. Schritt 2: die beiden gut ablesbaren Punkte (4 s | 24 m) und (10 s | 60 m) auf der Geraden markieren. Schritt 3: vom linken Punkt waagerecht nach rechts zeichnen. Schritt 4: von dort senkrecht nach oben bis zum zweiten Punkt zeichnen. Schritt 5: die waagerechte Kathete mit dem Zeitabschnitt (6 s) und die senkrechte mit dem Wegabschnitt (36 m) beschriften. Antwort: Das Steigungsdreieck entsteht in fünf Schritten; die schräge Seite muss dabei nicht gezeichnet werden, weil sie der Graph selbst ist.
Lina und Ben zeichnen dasselbe Dreieck — oder doch nicht?
AFB II–IIIIn einem t-s-Diagramm ist die Fahrt eines Rollers als Gerade eingetragen; sie verläuft durch (0 s | 0 m), (2 s | 10 m), (4 s | 20 m) und (10 s | 50 m). Lina legt ein Steigungsdreieck zwischen (0 s | 0 m) und (4 s | 20 m) an, Ben legt an dieselbe Gerade ein Dreieck zwischen (2 s | 10 m) und (10 s | 50 m) an. Beide behaupten, ihr Dreieck sei das richtige.
- Ermitteln Sie für beide Dreiecke die Länge der waagerechten und der senkrechten Kathete.
- Begründen Sie, warum beide Dreiecke zu derselben Geraden passen, obwohl sie unterschiedlich groß sind.
- Überprüfen Sie den Vorschlag eines dritten Schülers, das Dreieck zwischen (1 s | 5 m) und (3 s | 15 m) anzulegen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Linas Dreieck: waagerecht \(4\ \text{s} - 0\ \text{s} = 4\ \text{s}\), senkrecht \(20\ \text{m} - 0\ \text{m} = 20\ \text{m}\). Bens Dreieck: waagerecht \(10\ \text{s} - 2\ \text{s} = 8\ \text{s}\), senkrecht \(50\ \text{m} - 10\ \text{m} = 40\ \text{m}\). Antwort: Lina hat ein Dreieck mit 4 s und 20 m, Ben eines mit 8 s und 40 m — Bens Dreieck ist genau doppelt so groß.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide Eckpunktpaare liegen auf derselben Geraden, deshalb ist die schräge Seite in beiden Fällen ein Stück dieser Geraden. In beiden Dreiecken kommen auf 1 s genau 5 m: bei Lina \(20\ \text{m}\) auf \(4\ \text{s}\), bei Ben \(40\ \text{m}\) auf \(8\ \text{s}\). Das Verhältnis der beiden Katheten ist also gleich, nur die Größe des Dreiecks unterscheidet sich. Antwort: Beide Dreiecke sind richtig — die Größe des Steigungsdreiecks ist frei wählbar, weil eine Gerade überall gleich steil ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beide Punkte liegen auf der Geraden, denn dort kommen auf 1 s genau 5 m: (1 s | 5 m) und (3 s | 15 m) passen. Der Vorschlag ist also nicht falsch, aber ungünstig: Das Dreieck ist mit 2 s und 10 m sehr klein, und der Wegwert 5 m liegt bei einer Kästchenteilung von 6 m nicht auf einer Gitterkreuzung — man müsste beim Ablesen schätzen. Antwort: Der Vorschlag führt zum selben Ergebnis, ist aber ungenauer; besser wählt man weit auseinander liegende Punkte auf Gitterkreuzungen.