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Steigung in Diagrammen berechnen

Zwei Zahlen aus einem kleinen Dreieck am Graphen — und du weißt, wie schnell etwas ist.

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Skilift am Hang

AFB I–II

Ein Skilift zieht die Fahrgäste gleichmäßig den Hang hinauf. Ein Messgerät zeichnet die Fahrt als t-s-Diagramm auf. Der Graph ist eine Gerade und verläuft durch die Punkte (0 s | 0 m), (30 s | 180 m), (90 s | 540 m) und (150 s | 900 m).

  1. Bestimmen Sie die Länge der waagerechten und der senkrechten Kathete eines Steigungsdreiecks, das zwischen den Zeiten 30 s und 90 s liegt.
  2. Berechnen Sie daraus die Geschwindigkeit des Skilifts.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die waagerechte Kathete ist ein Zeitunterschied, die senkrechte ein Wegunterschied. Suche zuerst die beiden Wertepaare heraus, die zu 30 s und zu 90 s gehören.Bestimmen verlangt den Rechenweg und das Ergebnis mit Einheit — nicht nur die Zahl.
Hinweis zu Aufgabe b)
Teile die senkrechte Kathete durch die waagerechte und nimm die Einheiten mit in den Bruch. Zur Kontrolle darfst du ein zweites Steigungsdreieck verwenden.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: waagerechte Kathete = 90 s − 30 s, senkrechte Kathete = 540 m − 180 m. Rechnung: 90 s − 30 s = 60 s und 540 m − 180 m = 360 m. Ergebnis: waagerechte Kathete 60 s, senkrechte Kathete 360 m. Antwortsatz: Das Steigungsdreieck zwischen 30 s und 90 s hat die waagerechte Kathete 60 s und die senkrechte Kathete 360 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Geschwindigkeit = senkrechte Kathete geteilt durch waagerechte Kathete. Rechnung: v = 360 m : 60 s = 6 m/s. Kontrolle mit dem ganzen Graphen: 900 m : 150 s = 6 m/s. Antwortsatz: Der Skilift fährt mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s.

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Anfahrender Regionalzug

AFB II–III

Ein Regionalzug fährt aus dem Bahnhof an. Sein t-v-Diagramm zeigt eine Gerade durch die Punkte (0 s | 0 m/s), (10 s | 8 m/s), (20 s | 16 m/s) und (40 s | 32 m/s). Ein Fahrgast sieht das Diagramm und sagt: „Die Steigung dieses Graphen ist die Geschwindigkeit des Zuges.“ Die Zugbegleiterin nennt für die Steigung dagegen den Wert 0,8, ohne die Einheit dazuzusagen.

  1. Leiten Sie aus den Einheiten der beiden Katheten her, welche physikalische Größe die Steigung in diesem t-v-Diagramm angibt.
  2. Werten Sie die vier Wertepaare aus und geben Sie den Wert der Steigung mit Einheit an.
  3. Beurteilen Sie die Aussage des Fahrgastes.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Schreibe nur die Einheiten in den Bruch. Was steht bei einem t-v-Diagramm auf der senkrechten Achse, was auf der waagerechten?
Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe mehrere Steigungsdreiecke. Wenn der Graph eine Gerade ist, muss überall derselbe Wert herauskommen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche, was sich im t-v-Diagramm direkt ablesen lässt und was erst durch die Steigung entsteht. Beurteile nach den Kriterien Achsenbeschriftung und Einheit.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: die Einheiten in den Bruch schreiben. Rechnung: senkrechte Kathete in m/s, waagerechte Kathete in s, also m/s geteilt durch s = m/s². Ergebnis: Die Einheit m/s² gehört zur Beschleunigung. Antwortsatz: Die Steigung im t-v-Diagramm gibt die Beschleunigung an.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Steigung = senkrechte Kathete geteilt durch waagerechte Kathete. Rechnung: (8 m/s − 0 m/s) : (10 s − 0 s) = 8 m/s : 10 s = 0,8 m/s²; Kontrolle mit dem großen Dreieck: 32 m/s : 40 s = 0,8 m/s². Ergebnis: 0,8 m/s² an jeder Stelle. Antwortsatz: Der Zug beschleunigt gleichmäßig mit 0,8 m/s².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Begründung: Die Geschwindigkeit steht im t-v-Diagramm bereits auf der senkrechten Achse und lässt sich direkt ablesen, nach 20 s zum Beispiel 16 m/s. Die Steigung entsteht erst durch das Teilen zweier Katheten und hat die Einheit m/s², gehört also zur Beschleunigung. Der Wert 0,8 der Zugbegleiterin ist demnach als 0,8 m/s² zu lesen. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Größen mit ihren Einheiten unterschieden und dem Diagramm richtig zugeordnet werden.