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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung im Diagramm

Warum wird der Weg immer steiler, obwohl die Geschwindigkeit ganz gleichmäßig wächst?

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Anfahren an der Ampel

AFB I–II

An einer Ampel fährt ein Elektroauto an und wird gleichmäßig schneller. Ein Messgerät zeichnet die Geschwindigkeit auf: nach 2 s beträgt sie 4 m/s, nach 4 s 8 m/s, nach 6 s 12 m/s und nach 8 s 16 m/s. Trägt man diese Wertepaare in ein t-v-Diagramm ein, liegen alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung.

  1. Geben Sie an, welche Form der Graph derselben Fahrt in einem t-s-Diagramm hat.
  2. Bestimmen Sie aus den Messwerten, welche Geschwindigkeit das Auto nach 12 s erreicht hat, wenn es weiter gleichmäßig beschleunigt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Überlege, wie viel Weg das Auto in der ersten und wie viel in der vierten Sekunde zurücklegt, und vergleiche beide Stücke miteinander. Angeben verlangt nur das Ergebnis — hier also die Form des Graphen, ohne Herleitung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe zuerst, um wie viel m/s die Geschwindigkeit in jeder Sekunde zunimmt. Nimm dafür zwei Messwerte, deren Zeiten sich um einen glatten Betrag unterscheiden, und rechne diesen Zuwachs auf 12 s hoch.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

In gleichen Zeiten kommt derselbe Weg nicht heraus: In der ersten Sekunde ist das Auto noch langsam, in der vierten schon deutlich schneller, der Weg pro Sekunde wächst also ständig. Deshalb ist der Graph im t-s-Diagramm keine Gerade, sondern eine nach oben gekrümmte Kurve, die im Ursprung beginnt. Antwortsatz: Im t-s-Diagramm gehört zu dieser Fahrt eine nach oben gekrümmte Kurve.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Bei gleichmäßiger Beschleunigung nimmt v in gleichen Zeiten um gleiche Beträge zu. Rechnung: Von 2 s auf 4 s wächst v von 4 m/s auf 8 m/s, also um \(4\,\mathrm{m/s}\) in \(2\,\mathrm{s}\) und damit um \(2\,\mathrm{m/s}\) je Sekunde. Weil die Gerade im Ursprung beginnt, gilt nach 12 s: \(12 \cdot 2\,\mathrm{m/s} = 24\,\mathrm{m/s}\). Antwortsatz: Nach 12 s fährt das Auto 24 m/s.

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Zwei Diagramme, eine Fahrt

AFB II–III

Eine Straßenbahn fährt an einer Haltestelle ab. In den ersten 10 s ist ihr t-v-Graph eine Gerade, die im Ursprung beginnt und bei 10 s den Wert 5 m/s erreicht. Danach verläuft der t-v-Graph 20 s lang waagerecht bei 5 m/s. Die Strecke bis zur nächsten Haltestelle ist 300 m lang. Ein Fahrgast sagt nach der Fahrt: „In den ersten zehn Sekunden sind wir ungefähr genauso weit gekommen wie in den zehn Sekunden danach.“

  1. Erklären Sie, warum der Weg-Zeit-Graph der Straßenbahn in den ersten 10 s gekrümmt verläuft und danach in eine Gerade übergeht.
  2. Schätzen Sie ab, welchen Weg die Straßenbahn in den zweiten 10 s zurücklegt.
  3. Bewerten Sie die Aussage des Fahrgastes.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Sieh dir die beiden Phasen getrennt an und frage dich jedes Mal: Bleibt die Geschwindigkeit gleich oder wächst sie? Überlege dann, was das für den Weg pro Sekunde bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe b)
In der zweiten Phase ist die Geschwindigkeit konstant. Für einen konstanten Wert kommst du mit s = v · t aus; die Zeitangabe steht im Text.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die beiden Wegstrecken miteinander. Als Kriterium eignet sich die mittlere Geschwindigkeit in jeder Phase — erst rechnen oder abschätzen, dann urteilen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

In den ersten 10 s wächst v gleichmäßig von 0 auf 5 m/s. Weil die Bahn in jeder Sekunde ein längeres Stück zurücklegt als in der Sekunde davor, ist der t-s-Graph dort nach oben gekrümmt. Ab 10 s bleibt v konstant bei 5 m/s; dann kommt in jeder Sekunde derselbe Weg dazu, und der t-s-Graph verläuft geradlinig weiter. Antwortsatz: Die Krümmung zeigt die Beschleunigungsphase, die anschließende Gerade die gleichförmige Fahrt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: konstante Geschwindigkeit, also s = v · t. Rechnung: \(s = 5\,\mathrm{m/s} \cdot 10\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{m}\). Antwortsatz: In den zweiten 10 s legt die Straßenbahn 50 m zurück — das ist ein Sechstel der 300 m bis zur nächsten Haltestelle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In der ersten Phase steigt v gleichmäßig von 0 auf 5 m/s; im Mittel fährt die Bahn dort 2,5 m/s und kommt in 10 s rund 25 m weit — das ist die Fläche unter der Geraden im t-v-Diagramm. In der zweiten Phase sind es 50 m. Der Fahrgast irrt sich also: In der zweiten Phase kommt die Bahn etwa doppelt so weit. Als vollständige Antwort gilt, dass die Aussage zurückgewiesen wird, gestützt auf den Vergleich der beiden Wege oder der mittleren Geschwindigkeiten.