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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen

Zwei Sachaufgaben rund um das Anfahren an der Ampel.

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Anfahren an der Ampel

AFB I–II

An einer Ampel steht ein Stadtbus. Als die Ampel auf Grün springt, fährt er aus dem Stand gleichmäßig beschleunigt an und erreicht nach 8 Sekunden eine Geschwindigkeit von 36 km/h. Danach fährt er gleichförmig weiter.

  1. Berechnen Sie die Beschleunigung des Busses während des Anfahrens.
  2. Weisen Sie nach, dass der Bus während des Anfahrens 40 m zurücklegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Endgeschwindigkeit ist in km/h angegeben, die Zeit in Sekunden. Rechne die Geschwindigkeit zuerst in die Grundeinheit um.Berechnen verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Verwende die Streckenformel für eine Bewegung aus dem Stand und achte darauf, dass die Zeit quadriert wird, bevor du multiplizierst.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: a = Δv : Δt. Zwischenschritt: 36 km/h : 3,6 = 10 m/s. Rechnung: a = 10 m/s : 8 s = 1,25 m/s². Antwortsatz: Der Bus beschleunigt beim Anfahren mit 1,25 m/s²; seine Geschwindigkeit nimmt also in jeder Sekunde um 1,25 m/s zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: s = ½ · a · t² für den Start aus dem Stand. Zwischenschritt: t² = 8 s · 8 s = 64 s². Rechnung: s = 0,5 · 1,25 m/s² · 64 s² = 40 m. Antwortsatz: Der Bus legt während der 8 Sekunden des Anfahrens genau 40 m zurück; die Behauptung ist damit nachgewiesen.

2

Zwei Fahrzeuge an derselben Ampel

AFB II–III

An einer zweispurigen Ampel stehen ein Kleinwagen und ein Motorrad nebeneinander. Beide starten gleichzeitig aus dem Stand: Der Kleinwagen beschleunigt gleichmäßig mit 2 m/s², das Motorrad mit 5 m/s². Beide beschleunigen genau 6 Sekunden lang und fahren danach mit der erreichten Geschwindigkeit weiter. Hinterher sagt der Fahrer des Kleinwagens: Nach den 6 Sekunden war das Motorrad zweieinhalbmal so schnell wie ich, also war es auch genau zweieinhalbmal so weit gekommen.

  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten beider Fahrzeuge nach 6 Sekunden in m/s und in km/h.
  2. Stellen Sie mit Ansatz und Rechnung dar, welche Strecken die beiden Fahrzeuge in diesen 6 Sekunden zurücklegen.
  3. Diskutieren Sie die Behauptung des Kleinwagenfahrers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Aus dem Stand gilt v = a · t. Rechne das Ergebnis anschließend mit dem Faktor 3,6 in km/h um.
Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Fahrzeuge starten aus dem Stand und beschleunigen gleich lang; nur die Beschleunigung unterscheidet sich. Quadrieren Sie die Zeit, bevor Sie multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie zuerst die beiden Verhältnisse, die sich aus a) und b) ergeben. Prüfen Sie danach, ob die Behauptung auch dann noch gilt, wenn die Fahrzeuge unterschiedlich lange beschleunigen, und nennen Sie die Bedingung, unter der sie zutrifft.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: v = a · t. Rechnung: Kleinwagen v = 2 m/s² · 6 s = 12 m/s, das sind 12 · 3,6 = 43,2 km/h; Motorrad v = 5 m/s² · 6 s = 30 m/s, das sind 30 · 3,6 = 108 km/h. Antwortsatz: Nach 6 Sekunden fährt der Kleinwagen 12 m/s, also 43,2 km/h, und das Motorrad 30 m/s, also 108 km/h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: s = ½ · a · t². Zwischenschritt: t² = 6 s · 6 s = 36 s². Rechnung: Kleinwagen s = 0,5 · 2 m/s² · 36 s² = 36 m; Motorrad s = 0,5 · 5 m/s² · 36 s² = 90 m. Antwortsatz: In den ersten 6 Sekunden legt der Kleinwagen 36 m zurück, das Motorrad 90 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Pro: Die Rechnung bestätigt das Zahlenverhältnis, denn 30 m/s : 12 m/s = 2,5 und 90 m : 36 m = 2,5 stimmen überein. Contra: Die Begründung des Fahrers greift zu kurz, weil Geschwindigkeit und Strecke unterschiedlich von der Zeit abhängen — v wächst nur mit t, s dagegen mit t². Begründetes Ergebnis: Die Aussage ist genau dann richtig, wenn beide Fahrzeuge gleich lange beschleunigen; dann kürzt sich t² aus dem Streckenverhältnis heraus und übrig bleibt das Verhältnis der Beschleunigungen, das zugleich das Geschwindigkeitsverhältnis bestimmt. Beschleunigt eines der Fahrzeuge länger, gilt die Aussage nicht mehr. Als vollständig gilt eine Antwort, die beide Verhältnisse mit Zahlen belegt und die Bedingung der gleichen Beschleunigungsdauer ausdrücklich nennt.