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Einheiten der Strecke

Warum sind 2,5 km und 250 000 cm genau dieselbe Strecke?

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Auf dem Schulhof abgemessen

AFB I–II

Für ein Sportfest werden auf dem Schulhof vier Strecken abgemessen. Die Weitsprunganlage ist 65 dm lang, die Sprintstrecke misst 0,05 km, das Absperrband für die Zuschauer ist 2400 cm lang und der Abstand zwischen zwei Markierungshütchen beträgt 750 mm.

  1. Ordnen Sie jeder der vier Strecken die passende Angabe in Metern zu.
  2. Bestätigen Sie durch eine eigene Rechnung, dass die Sprintstrecke mehr als siebenmal so lang ist wie die Weitsprunganlage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bringe zuerst alle vier Angaben auf dieselbe Einheit. Überlege für jede Angabe einzeln, ob die Maßzahl dabei größer oder kleiner werden muss. Zuordnen verlangt eine begründete Zuweisung — schreibe zu jeder Strecke die Umrechnung dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne beide Längen in dieselbe Einheit um und vergleiche sie dann. Eine Aussage „mehr als siebenmal“ ist bestätigt, wenn das Siebenfache der kürzeren Strecke kleiner ist als die längere.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

65 dm = 65 : 10 = 6,5 m; 0,05 km = 0,05 · 1000 = 50 m; 2400 cm = 2400 : 100 = 24 m; 750 mm = 750 : 1000 = 0,75 m. Antwortsatz: Die Weitsprunganlage ist 6,5 m lang, die Sprintstrecke 50 m, das Absperrband 24 m und der Hütchenabstand 0,75 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: beide Längen in Metern vergleichen. Rechnung: \(7 \cdot 6{,}5\,\mathrm{m} = 45{,}5\,\mathrm{m}\), und \(45{,}5\,\mathrm{m} < 50\,\mathrm{m}\); genauer ist \(50 : 6{,}5 \approx 7{,}7\). Antwortsatz: Die Sprintstrecke ist rund 7,7-mal so lang wie die Weitsprunganlage, die Behauptung stimmt also.

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Ein Zaun für das Schulbeet

AFB II–III

Das rechteckige Schulbeet ist 12 m lang und 450 cm breit und soll rundherum eingezäunt werden. Der Baumarkt verkauft einzelne Zaunelemente von je 1,5 m Länge für 9 € pro Element. Eine zweite Firma liefert einen Rollzaun von 40 m Länge am Stück für 210 €. Beide Angebote gelten ohne Lieferkosten; der Hausmeister hat für den Aufbau einen ganzen Nachmittag Zeit.

  1. Erklären Sie, warum die Breitenangabe vor jeder Rechnung umgerechnet werden muss.
  2. Bestimmen Sie die Länge des Zauns, der rund um das Beet nötig ist.
  3. Entscheiden Sie sich begründet für eines der beiden Angebote.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Sieh dir die beiden Seitenlängen an: Sie stehen in verschiedenen Einheiten. Überlege, was herauskäme, wenn man 12 und 450 einfach addiert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Umfang eines Rechtecks ist zweimal die Länge plus zweimal die Breite. Rechne vorher beide Seiten in dieselbe Einheit um.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne für beide Angebote den Gesamtpreis aus. Nenne neben dem Preis mindestens ein zweites Kriterium, etwa den übrig bleibenden Zaun oder den Aufwand beim Zuschneiden.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

12 m und 450 cm sind in verschiedenen Einheiten angegeben, und nur gleiche Einheiten dürfen addiert werden. 450 cm sind 450 : 100 = 4,5 m. Ohne Umrechnung käme 2 · (12 + 450) = 924 heraus — eine Zahl ohne sinnvolle Einheit und rund 28-mal zu groß. Antwortsatz: Vor jeder Rechnung müssen alle Längen in derselben Einheit stehen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(u = 2 \cdot (l + b)\). Rechnung: \(b = 450\,\mathrm{cm} = 4{,}5\,\mathrm{m}\), also \(u = 2 \cdot (12\,\mathrm{m} + 4{,}5\,\mathrm{m}) = 2 \cdot 16{,}5\,\mathrm{m} = 33\,\mathrm{m}\). Antwortsatz: Der Zaun muss 33 m lang sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Einzelelemente: \(33\,\mathrm{m} : 1{,}5\,\mathrm{m} = 22\) Elemente, also 22 · 9 € = 198 € — die Länge geht genau auf, es bleibt nichts übrig. Rollzaun: 210 € für 40 m, davon bleiben 7 m ungenutzt. Mögliche Urteile: Die Einzelelemente sind mit 198 € billiger und passen exakt; wer dagegen Reserve für spätere Reparaturen haben will oder den Zaun lieber am Stück verlegt, kann sich für den Rollzaun entscheiden. Als vollständige Antwort gilt eine klare Festlegung auf ein Angebot, gestützt auf den gerechneten Gesamtpreis und mindestens ein weiteres Kriterium.